des tétraèdres remarquables

Le tétraèdre régulier et le tétraèdre trirectangle régulier s'obtiennent facilement à partir d'un cube.





un tétraèdre régulier un tétraèdre trirectangle régulier un diamant composé
de ces deux pyramides régulières
tétraèdre birectangle de Schläfli
(quatre faces rectangulaires)

On peut de même définir d'autres types de tétraèdres (non réguliers) à partir d'un parallélépipède rectangle.





un tétraèdre équifacial
(disphénoïde)
un tétraèdre trirectangle un tétraèdre équifacial
à faces isocèles
(disphénoïde tétragonal)
un autre tétraèdre à faces
rectangles (non équifacial)

Voici deux autres tétraèdres intéressant définis dans un cube (1/24e du volume du cube) :
  • si on découpe le premier (bleu) le long de chacune des douze arêtes d'un cube il reste une étoile de Kepler (voir puzzles),
  • 6 du second (magenta) peuvent constituer un rhomboèdre aplati, 8 un octaèdre (la plus longue arête en commun), 24 un cube (deux le long de chaque arête), 6×8=48 un dodécaèdre rhombique (six octaèdres avec un sommet en commun) ; douze octaèdres avec un sommet en commun constituent un dodécaèdre rhombique étoilé.
Voir aussi les tétraèdres de Hill (pavage de l'espace, décomposition).

quelques propriétés des tétraèdres

les tétraèdres équifaciaux (faces isométriques)

<=>  leurs arêtes opposées ont même longueur,
<=>  la sphère circonscrite et la sphère inscrite (tangente aux quatre faces) sont concentriques
<=>  en chaque sommet la somme des angles vaut 180°
  •   les quatre hauteurs sont égales
  •   les perpendiculaires communes aux arêtes opposées passent par les milieux, sont concourantes et perpendiculaires entre elles
  •   l'isobarycentre G des sommets est centre des sphères circonscrite et inscrite ; le point de contact de la sphère inscrite avec une face est centre du cercle circonscrit à cette face
  •   les pieds des hauteurs, les orthocentres des faces et les milieux des hauteurs appartiennent à une sphère de centre G
  •   volume : V²=(b²+c²-a²)(c²+a²-b²)(a²+b²-c²)/72  où a, b et c désignent les longueurs des paires d'arêtes opposées
exemples : le tétraèdre régulier, deux des tétraèdres ci-dessus (voir patron ci-dessous)

les tétraèdres orthocentriques

<=>  deux paires d'arêtes opposées sont orthogonales (propriété caractéristique)
<=>  trois hauteurs sont concourantes (existence d'un orthocentre H)
En fait, on a une condition suffisante bien plus faible (Georges Lion).
Si l'une des hauteurs est sécante avec deux autres, pas nécessairement a priori en le même point, alors le tétraèdre est orthocentrique.
preuve : Pour que (AB) soit orthogonale à (CD) il faut et il suffit que h(A), hauteur issue de A, soit sécante avec h(B).
Remarquons qu'en général h(A) et h(B) sont orthogonales à (CD) sans être parallèles. On a alors :
    h(A) et h(B) sont sécantes  <=>  h(A) et h(B) sont coplanaires  <=>  il existe un plan passant par A et B et perpendiculaire à (CD).
Si cette condition est réalisée les arêtes (AB) et (CD) sont orthogonales et de même les arêtes (AC) et (BD), donc le tétraèdre est orthocentrique.
Remarque : si h(A) et h(B) sont sécantes alors h(C) et h(D) le sont aussi mais le tétraèdre ABCD n'est pas nécessairement orthocentrique.
<=>  le pied d'une hauteur est orthocentre de la face opposée
<=>  a²+a'²=b²+b'²=c²+c'² où l et l' sont les longueurs de deux arêtes opposées
  •   les trois paires d'arêtes opposées sont orthogonales
  •   les pieds des hauteurs sont orthocentres des faces opposées
  •   les trois perpendiculaires communes aux arêtes opposées sont concourantes en H
  •   les trois segments d'extrémités les milieux des arêtes opposées ont même longueur
  •   les milieux des arêtes et les pieds des perpendiculaires communes aux arêtes opposées appartiennent à une sphère de centre l'isobarycentre G des sommets (première sphère d'Euler) ; les cercles d'Euler des faces appartiennent à cette sphère
  •   G est milieu de [OH] (droite d'Euler du tétraèdre) où O est le centre de la sphère circonscrite
  •   les perpendiculaires aux faces en leurs centres de gravité sont concourantes en I sur la droite d'Euler
  •   dans le tétraèdre ABCD, les pieds des hauteurs, les centres de gravité des faces, et les points situées aux tiers de [HA], [HB], [HC] et [HD] appartiennent à une sphère de centre le milieu de [HI] (seconde sphère d'Euler)
  •   volume :  V=(1/6)×l×l'×h  où h est la longueur de la perpendiculaire commune aux supports de deux arêtes opposées de longueurs l et l'
 
Pour tout tétraèdre ABCD  V=(1/6)×AB×CD×h×sin(x)  où x est l'angle (AB,CD)
L'angle de deux droites non coplanaires est celui de leurs parallèles menées par un point quelconque (sur la construction H est un tel point).

rappel : construction de la perpendiculaire commune Δ à deux droites D et D' non coplanaires
Soient D" la projection orthogonale de D' sur le plan P passant par D et parallèle à D', et H son point d'intersection avec D ; Δ est la perpendiculaire à P menée par H.
Cette figure est interactive : on peut modifier le tétraèdre en déplaçant les points rouges B, C et D, et donc vérifier que la perpendiculaire commune peut être extérieure au tétraèdre.
exemples : le tétraèdre régulier, les tétraèdres trirectangles (l'orthocentre est un sommet)
une construction d'un tétraèdre orthocentrique ABCD : soit ABC un triangle d'orthocentre D', et soit D un point distinct de D' sur la perpendiculaire au plan de ABC menée par D'.

les tétraèdres isodynamiques

aa'=bb'=cc'  où l et l' sont les longueurs de deux arêtes opposées
<=>  les segments joignant un sommet au centre du cercle inscrit dans la face opposée sont concourants

les tétraèdres de Crelle

a+a'=b+b'=c+c'  où l et l' sont les longueurs de deux arêtes opposées
<=>  il existe une sphère tangente aux six arêtes (inter-sphère)

exemple : les "tétraèdres 4-boules"
a+a'=b+b'=c+c'=r1+r2+r3+r où les ri sont les rayons de quatre sphères centrées aux sommets et mutuellement tangentes.
Les points de contact de ces sphères sont aussi les points de contact des arêtes avec l'inter-sphère qui leur est tangente ; les intersections de l'inter-sphère avec les faces du tétraèdre sont les cercles inscrits aux faces.
Les trois segments joignant les points de contact sur deux arêtes opposées sont concourants.

Voir aussi les "kissing spheres" de Soddy.

des patrons de tétraèdres

Le patron du tétraèdre régulier est bien connu ; on en déduit facilement le patron du tétraèdre trirectangle régulier. tétraèdre régulier (patron 1) tétraèdre (patron 3)
Voici le second patron du tétraèdre régulier : tétraèdre régulier (patron 2)
Un triangle plié selon les côtés de son triangle des milieux est le patron d'un tétraèdre équifacial (le triangle doit avoir trois angles aigus.).
Il suffit aussi de trois plis pour transformer un carré en patron d'un tétraèdre trirectangle. Un carré peut aussi être le patron d'un tétraèdre équifacial.
tétraèdres (patrons 4)

Quand on rabat une face latérale d'une pyramide sur son plan de base, on remarque que la hauteur de cette face pivote autour de son pied. On en déduit la construction du patron d'un tétraèdre :
On choisit le triangle de base et un point S (projection du sommet) qui peut être choisi sur un côté ou hors du triangle de base. Chaque triangle latéral a une hauteur passant par S, sur laquelle se trouve son troisième sommet. On choisit l'un d'eux (S' par exemple, avec HS'>HS) et on en déduit les deux autres par report des longueurs des côtés.
On peut choisir la hauteur SS'=h du tétraèdre en construisant le triangle rectangle HSS'.
 
tétraèdre (patron 5)

des coupes dans un tétraèdre

Si on coupe un tétraèdre SABC par un plan parallèle à la face ABC, par exemple à mi-hauteur, on obtient un pentaèdre (tronc de pyramide avec trois faces latérales trapézoïdales dont le volume est 7/8 du volume du tétraèdre).

Les hauteurs des trois trapèzes ne sont évidemment pas égales, mais il existe une direction de l'espace selon laquelle elles le paraissent. On peut la chercher expérimentalement en modifiant la position du solide.

Passons de l'espace au plan par projection du sommet S en S' sur le plan (ABC). La coupe à mi-hauteur est alors un triangle A'B'C', et le théorème des milieux dans un triangle prouve que A'B'C' est une réduction de ABC (pour un rapport de réduction différent de 1/2 on utilise le théorème de Thalès, ou une homothétie de centre S'). Pour que les trois trapèzes aient même hauteur, il faut et il suffit que chaque sommet de A'B'C' soit équidistant de deux côtés de ABC, donc appartienne à la bissectrice du secteur. Finalement, S' doit être le centre I du cercle inscrit à ABC. La direction cherchée est donc celle de (SI). tétraèdre (projection)

 
Voici trois exercices (calculs et constructions) pour tester votre maîtrise de l'espace :
•   Calculer le volume d'un tétraèdre régulier d'arête a, et la mesure de l'angle de deux faces.
Comment vérifier ces résultats ?
•   Dessiner en perspective cavalière un tétraèdre SABC, et choisir sur sa surface trois points P, Q et R non situés sur la même face. Construire la coupe de SABC par le plan (PQR).
La construction est facile si l'un des points est situé sur une arête ou si deux points se trouvent sur une même face.
Sinon il faut se fatiguer davantage pour obtenir la solution.
•   Construire un tétraèdre de volume donné connaissant les directions et les longueurs de deux arêtes opposées.
 
références :   Géométrie de l'espace et du plan  de Yvonne et René Sortais (éditions Hermann - 1988) pages 305-336
construire des polyèdres qui pavent l'espace avec des tétraèdres ("mites") par Eduard Bobik (en anglais)
Voir aussi les pages consacrées aux kaléïdocycles


  sommaire   avril 1999
mis à jour 03-01-2014