des cercles tangents et des sphères tangentes

les "kissing circles" de Soddy :  2 (c1²+c2²+c3²+c4²) = (c1+c2+c3+c4

Il existe deux cercles tangents (l'un intérieurement et l'autre extérieurement) à trois cercles mutuellement tangents : ce sont les cercles de Soddy qu'il a joliment appelé "kissing circles". Les courbures (inverses des rayons) des cercles de ces deux quadruplets vérifient la relation de Descartes ci-dessus. On peut itérer la construction en utilisant les nouveaux cercles et créer d'autres quadruplets...
Dans les configurations remarquables ci-dessous toutes les courbures sont entières et les disques de même couleur appartiennent à une même génération. Il existe d'autres configurations de ce type ; combien ? une infinité ?
Remarque : pour la configuration de gauche par exemple, la relation de Descartes permet de trouver facilement les courbures 86 et -6 des cercles de Soddy des trois premiers cercles (11,14,15) ; le cercle extérieur a comme rayon 1/6, et sa courbure est négative puisqu'il contient les trois cercles.

3 packs de cercles
frise

Un cas particulier : "frieze of integers" (les deux droites horizontales sont des cercles de courbure nulle).

On peut passer d'une configuration à une autre par une inversion bien choisie.
Toutes les configurations peuvent être obtenues par inversions de la "frieze of integers".

les "kissing spheres" de Soddy :  3 (c1²+c2²+c3²+c4²+c5²) = (c1+c2+c3+c4+c5

Dans l'espace on a un résultat similaire qui conduit à des quintuplets de sphères mutuellement tangentes : les "kissing spheres". La relation entre les courbures des cinq sphères est différente.
Remarque : dans un espace de dimension n, les courbures ci de (n+2) hypersphères qui s'embrassent deux à deux vérifient la relation  n(Σci²)=(Σci.

Nicolas Hannachi a prouvé récemment qu'il existe une infinité de "packings" à courbures entières qui sont topologiquement isomorphes ; on peut les obtenir par des inversions du "bowl of integers" de Soddy. Mais on a découvert davantage ! (voir la partie "carpet").
Davantage de détails et de superbes images sur la page de Nicolas.

Voici quatre configurations à courbures entières, définies chacune par une souche, le premier "kiss" (quatre sphères mutuellement tangentes).
    (-1,2,2,3) : le célèbre "bowl of integers" de Soddy ( groupe d'isométries D6h )
    (-11,21,25,27) : "bingo", la première configuration découverte par Nicolas Hannachi
    (-3,6,7,7) et (-2,3,6,7) : deux autres configurations symétriques découvertes par Nicolas ( groupes C3v  et C6v )
Les sphères d'une même génération sont coloriées avec la même couleur : successivement cyan, bleu, magenta, rouge, jaune, vert, ...
Les packings (-1,2,2,3) et (-2,3,6,7) ont été générés à partir d'un "hexlet" (voir partie suivante) ; on peut générer et colorier (-11,21,25,27) et (-3,6,7,7) de la même manière, mais le coloriage de (-3,6,7,7) perd alors sa symétrie.

Les liens ci-dessus ouvrent chacun une fenêtre pop-up avec deux animations (générations successives et graphes de tangence de Nicolas).
Pour mieux voir ces animations minimisez la fenêtre principale ; seules les fenêtres pop-up resteront visibles.
Si votre connexion est lente soyez patients pendant l'initialisation ... le temps d'un long baiser !




applet non exécuté
(pas de plug-in Java)

un demi "bowl of integers" (pour voir l'intérieur)




applet non exécuté
(pas de plug-in Java)

"bingo" (aucune symétrie)

Les ensembles des centres de familles de sphères fournissent encore une manière de créer de nouveaux polyèdres, mais leurs enveloppes convexes n'ont pas de propriétés intéressantes et ne sont pas très belles. Ce que nous appelons beauté d'un polyèdre n'est souvent qu'une façon de traduire la richesse de son groupe d'isométries.

le "hexlet" de Soddy :  c1+c4 = c2+c5 = c3+c6

Si l'on considère deux sphères tangentes (bleues) inscrites dans une sphère (grise), il existe un anneau de six sphères (rouges) tangentes extérieurement deux à deux et tangentes aux trois autres sphères (bleues et grise). Les courbures de ces six sphères satisfont aux relations ci-dessus.
Les centres des six sphères appartiennent à une ellipse et les trois segments définis par des centres de deux sphères opposées sont concourants. Les six sphères sont aussi tangentes à deux plans (pour le vérifier il suffit de tourner la figure) et à une sphère (jaune) centrée dans le plan de l'ellipse.
Dans le plan de l'ellipse la figure définit une "chaîne de Steiner" : six cercles (rouges) tangents intérieurement et extérieurement à deux cercles (gris et jaune).

Remarque : Un hexlet apparaît clairement dans le "bowl of integers" et dans (-2,3,6,7) ; ces deux configurations ont en effet un 6-axe de symétrie. Mais en fait toutes les configurations contiennent une infinité de hexlets (voir à la fin de la partie "carpet" ci-dessous).
Sur un autre exemple de Nicolas, (-11,24,24,25), on a mis en évidence deux hexlets orthogonaux grâce à des coloriages différents. Cette jolie configuration a deux plans de symétrie ; ses isométries forment un groupe de Klein.



applet non exécuté
(pas de plug-in Java)



applet non exécuté
(pas de plug-in Java)


applet non exécuté
(pas de plug-in Java)


applet non exécuté
(pas de plug-in Java)

découverte de "carpet of integers"  (Hannachi-Starck, avril 2006)

Qu'est-ce que ce "tapis" ? Tout simplement un packing de sphères entre deux plans parallèles (que l'on peut considérer comme deux sphères de courbure zéro) ; la souche de cette nouvelle configuration est donc (0,0,1,1). Le tapis est infini, mais on y retrouve les "kiss" et la symétrie d'ordre six du "bowl of integers" ; son groupe d'isométries est a6×C2
a6 est le plus riche des groupes de pavage du plan (le classique p6m en notation cristallographique), et C2  contient la symétrie par rapport au "plan médian".

Avec "carpet of integers" on a découvert l'ancêtre commun à tous les packings de sphères : avec une inversion convenable on peut transformer le tapis en n'importe quelle configuration à courbures entières.

L'applet montre "carpet of integers" avec l'inversion (sphère jaune) qui le transforme en "bowl of integers".
Deux sphères inverses sont coloriées avec la même couleur ; les deux plans sont transformés en deux sphères tangentes passant par le pôle de l'inversion (point jaune).
Trop petit, le "bowl" ? Utilisez Shift-glissez-gauche verticalement pour zoomer.




applet non exécuté
(pas de plug-in Java)

    deux animations : carpet <-> bowl  et  carpet <-> bingo       Soyez patients pendant l'initialisation ... fichier de 600 Ko !
    un hexlet bien caché et une suite infinie de hexlets

Les images ci-dessous devraient vous inciter à visiter les "kissing pages" de Nicolas Hannachi.
Voici la vidéo (0'50 - 3,2 Mo) d'où sont extraites ces images. Une version est aussi visible sur Youtube.

carpet of integers

d'autres propriétés intéressantes

références : des pages qu'on ne peut ignorer : "circle packing " et "sphere packing " sur le site math à mâter  de Nicolas Hannachi
Soddy circles, tangent spheres et bowl of integers sur MathWorld (Eric W. Weisstein)
Circle Game (article de Science News, avril 2001)
The Kiss Precise, le poème que Frederick Soddy a consacré à ses "kissing circles" et "kissing spheres" (en anglais)
les magnifiques sphères tangentes de Jos Leys
Les applets de cette page ont été réalisé avec Mathematica  grâce au travail de recherche et de codage de Nicolas Hannachi.


mars 2006
mis à jour 24-03-2008