groupes discrets de symétries planes

isométries du plan

Une isométrie est une transformation qui conserve les distances (donc elle conserve aussi les angles, l'orthogonalité et le parallélisme).
Il y a quatre isométries planes différentes :
    • les translations : pas de point fixe (identité si le vecteur est nul)
    • les rotations : un point fixe, le centre (identité si l'angle est nul, demi-tour ou symétrie centrale si l'angle est π)
    • les réflexions (pures) : une droite de points fixes (l'axe)
    • les réflexions glissées ou glissages : composées d'une réflexion et d'une translation
       (elles peuvent s'exprimer comme composées commutatives d'une réflexion et d'une translation parallèle à l'axe)
Dans le plan complexe, avec a,b∈ℂ et |a|=1, on représente les isométries par les deux transformations :
z → az+b translation ssi a=1, sinon rotation de centre d'affixe b/(1-a) et d'angle arg(a)
z → az+b réflexion pure ssi ab+b=0 (axe d'angle arg(a)/2 et passant par le point d'affixe b/2),
sinon réflexion glissée (axe de vecteur d'affixe (ab+b)/2 et passant par le point d'affixe b/2)

Une isométrie du plan est la composée d'au plus trois réflexions ; les translations (composées de deux réflexions d'axes parallèles) et les rotations (composées de deux réflexions d'axes non parallèles) préservent l'orientation, et les réflexions pures et glissées la changent (un glissage est la composées de trois réflexions avec au moins deux axes non parallèles).
Les isométries du plan forment un groupe non commutatif pour la composition ; les translations forment un sous-groupe normal. Toute isométrie est la composée unique d'une rotation ou d'une réflexion admettant l'origine comme point fixe et d'une translation ; appliquer une translation puis une rotation ou une réflexion revient à appliquer d'abord la rotation ou la réflexion, puis la translation de vecteur image par la rotation ou la réflexion.

Ci-dessous nous nous intéressons aux groupes G  d'isométries sans translation (rosace) ou dont les translations forment un sous-groupe normal TG  engendré sur  par un élément (frise) ou deux éléments indépendants (pavage). Le réseau  est l'orbite de l'origine sous l'action de TG  (ensemble des images de l'origine par les translations) ; il est symétrique par rapport à l'origine.
Pour toute isométrie f de G  on définit l'isométrie réduite γ  admettant l'origine comme point fixe par
      si f(z)=az+b, alors γ(z)=az,   et si f(z)=az+b, alors γ(z)=az.
Ces isométries réduites  préservent le réseau  et forment le groupe réduit ΓG  isomorphe au groupe quotient G/TG .

les deux familles infinies de groupes de rosaces

Un groupe de rosace R  ne contient aucune translation (et donc aucune réflexion glissée) :  TR ={id}.  Son réseau est réduit à l'origine.
Il est isomorphe à un groupe cyclique ou diédral (exemples : n=5).
gr r5 rn = <r> = ΓR  Cn  
seulement n rotations
r5m rnm = <r,m> = ΓR  Dn  
n rotations et n réflexions

les sept groupes de frises

Un groupe de frise F  contient un sous-groupe de translations engendré par une translation :  TF =<t>=ℤ•t.  Son réseau est un ensemble de points régulièrement répartis sur une droite Δ, et le groupe réduit ΓF  est un sous-groupe du groupe de Klein {id,-id,m,μ} où Δ est l'axe de μ.
•   Notation cristallographique :  fxy f signifie "frise",  x=1,m  sans/avec réflexions d'axes verticaux,  y=1,m,g,2  pas d'autre symétrie, une réflexion d'axe horizontal  pure (m) ou glissée (g), des demi-tours (rotations r d'ordre 2).
•   Notation "orbifold" (J.H. Conway) : pour une "symétrie infinie autour d'un axe", 2 pour un ensemble de demi-tours, * pour un ensemble de réflexions (les demi-tours après * ont leurs centres à des intersections d'axes de réflexions) et x pour une réflexion glissée.
•   Notation de L. Fejes Tóth : Fnp
•   Les noms attribués par John Conway à ces déplacements.

C1 D1 C2 D2
f11
∞∞
F1
hop
f1m
∞*
F11
jump
fm1
*∞∞
F12
sidle
f1g
∞x
F13
step
f12
22∞
F2
spinning hop
fmm
*22∞
F21
spinning jump
fmg
2*∞
F22
spinning sidle
pas de rotations demi-tours

groupe f11 f11 = <t>  C 
ΓF = {id}  C1
groupe f1m f1m = <t,μ>  C×D1 
ΓF = {id,μ}  D1
groupe fm1 fm1 = <t,m>=<m',m">  D 
ΓF = {id,m}  D1
groupe f1g f1g = <g>  C 
ΓF = {id,μ}  D1
groupe f12 f12 = <t,r> = <r',r">  D 
ΓF = {id,-id}  C2
groupe fmm fmm = <t,r,μ> = <t,m,μ>  D×D1 
ΓF = {id,-id,m,μ}  D2
groupe fmg fmg = <m,r> = <r,g> = <m,g>  D 
ΓF = {id,-id,m,μ}  D2
    Le groupe fmg est celui de la sinusoïde.
    Les sept canevas (axes et centres de symétrie) de ces groupes.

Ci-dessus r, r' et r" désignent des symétries centrales,  m, m' et m" des réflexions d'axes verticaux,  μ et g la réflexion et un glissage d'axe Δ.

les dix-sept groupes de pavages

Un groupe de pavage P  contient un sous-groupe de translations engendré par deux translations indépendantes :  TP =<t1,t2>=ℤ•t1+ℤ•t2.
Le groupe réduit ΓP  est fini d'ordre maximum 12 et seules les rotations d'ordres 2, 3 ,4 et 6 préservent le réseau.
Les groupes réduits  possibles sont donc les groupes diédraux D6 et D4 et leurs sous-groupes.
Important !  À une rotation de ΓP  correspond, dans P , une famille de rotations de même ordre ; à une réflexion de ΓP  correspond une famille de réflexions (soit toutes pures, soit toutes glissées, soit les deux alternées) d'axes parallèles.

•   Notation cristallographique : p ou c pour le réseau (primitif ou centré) et 1,m,g,n comme pour les groupes de frises (rotations rn d'ordre maximum).
•   Notation "orbifold" (J.H. Conway) : entier n pour un ensemble de rotations rn, * pour un ensemble de réflexions, x pour des réflexions glissées (les rotations après * ont leurs centres à des intersections d'axes de réflexions).
•   Notation de L. Fejes Tóth : Wnp

C1 D1 C2 D2 C4 D4 C3 D3 C6 D6
p1
o
W1
pm
**
W12
pg
xx
W13
cm
x*
W11
p2
2222
W2
pmm
*2222
W22
pmg
22*
W23
pgg
22x
W24
cmm
2*22
W21
p4
442
W4
p4m
*442
W41
p4g
4*2
W42
p3
333
W3
p3m1
*333
W31
p31m
3*3
W32
p6
632
W6
p6m
*632
W61
pas de rotations demi-tours seulement quarts de tours tiers de tours seulement sixièmes de tours
c1
c1-
p
p-
g
g-
a
a-
c2
c2+
p2
p2
pg
pg
g2
g2+
a2
a2
c4
c4+
p2a2
p2a2
g2a2
g2a2
c3
c3+
a3
a3
a3c
a3+
c6
c6+
a6
a6

Le rôle clef joué par les "droites fixes pour P " associées aux axes des réflexions du groupe réduit ΓP, et donc par les familles de réflexions de P, suggère une notation plus simple et concise et plus explicite (deux dernières lignes du tableau ci-dessus) : p, g et a pour chaque famille de réflexions (pures, glissées, alternées), cn pour l'ordre maxi n des rotations des groupes sans réflexions (s'il y a des réflexions cet ordre est le nombre de familles, soit la somme des exposants) ; on pourrait ajouter un signe - ou + pour préciser qu'il n'y pas de rotations ou des rotations non centrées sur un axe de réflexion.

Le nom de chaque groupe (notation "pga") est un lien qui ouvre une fenêtre pop-up avec un pavage (tableau ci-dessus) ou un grand échantillon du motif (dessins ci-dessous).
Sur les dessins, en gris, les petits polygones indiquent les centres et ordres des rotations, et les droites pleines/pointillées sont les axes des réflexions pures/glissées. En bleu, une base du réseau ; en vert, un système générateur du groupe.

wp group pm
p- = <deux m pll, une t pll>
réseau rectangulaire, ΓP = D1
wp group pg
g- = <deux g pll>
réseau rectangulaire, ΓP = D1
wp group cm
a- = <une m, une g pll>
réseau rhombique, ΓP = D1
wp group p1
c1=TP = <deux t>
réseau oblique, ΓP = C1
wp group pmm
p2 = <quatre m (rectangle)>
réseau rectangulaire, ΓP = D2
wp group pmg
pg = <une m, deux r2>
réseau rectangulaire, ΓP = D2
wp group p2
c2= <trois r2>
réseau oblique, ΓP = C2
wp group pgg
g2= <deux g ppd>
réseau rectangulaire, ΓP = D2
wp group cmm
a2 = <deux m ppd, une r2>
réseau rhombique, ΓP = D2
wp group p4
c4= <une r2, une r4>
réseau carré, ΓP = C4
wp group p4m
p2a2 = <trois m (triangle 45,45,90)>
réseau carré, ΓP = D4
wp group p4g
g2a2 = <une m, une r4>
réseau carré, ΓP = D4
wp group p3
c3= <deux r3>
réseau hexagonal, ΓP = C3
wp group p3m1
a3 = <trois m (triangle équilatéral)>
réseau hexagonal, ΓP = D3
wp group p31m
a3= <une m, une r3>
réseau hexagonal, ΓP = D3
wp group p6
c6= <une r2, une r3>
réseau hexagonal, ΓP = C6
wp group p6m
a6 = <trois m (triangle 30,60,90)>
réseau hexagonal, ΓP = D6
Les 17 canevas (axes des réflexions et centres des rotations) des groupes de pavages.
La méthode et les nouveaux résultats exposés sur cette page sont largement inspirés par un travail de recherche d'un ami cher, Georges Lion (2007 à 2010, en anglais) :
    DISCRETE GROUPS OF PLANE ISOMETRIES - A new classification and their representations as Wallpaper groups.
      by Georges Lion (April 2007 - April 2010).

Evgraf S. Fedorov a décrit les 17 groupes en 1891.
Les artistes égyptiens connaissaient 12 de ces types de pavages ; les cinq groupes absents sont ceux avec des symétries d'ordre 3.
Des exemples de 13 de ces 17 types de pavage apparaissent sur les mosaïques du palais de l'Alhambra près de Grenade en Espagne (architecture du Moyen Âge islamique où les motifs animaliers ou humains étaient interdits) ; les quatre groupes absents sont g-, c2+, g²+ et a³.
On trouve aussi de nombreux exemples de pavages avec des dessins figuratifs dans l'œuvre de Maurits Cornelis Escher.

Concernant les pavages isoédriques  ou pavé-transitifs  (pour toute paire de pavés il existe une isométrie du groupe qui transforme l'un en l'autre, les pavés sont donc tous identiques), ce n'est qu'en 1968 que H. Heesch a caractérisé 28 types de pavés asymétriques qui pavent le plan. Ce résultat, "oublié" pendant près d'un demi-siècle, a été "nettoyé" par John Conway et Xavier Hubaut (voir dernière référence) : les 28 types ont été réduits à 19, car certains types sont des cas particuliers d'autres. Pour 15 des 17 groupes un seul type de pavé est associé au groupe, et pour chacun des deux groupes ne contenant que des réflexions glissées il y en a deux.
Vous pouvez voir des exemples de pavages dans les fenêtres pop-up accessibles depuis la table (un pavé marqué est nécessaire pour a³).

les pavages avec des polygones

Quels polygones pavent le plan ? Tous les triangles, les quadrilatères (sauf les croisés), trois familles d'hexagones, mais aussi quelques types de pentagones convexes. On vient de découvrir (août 2015) un quinzième type de pentagone (en bas à droite) ; y en a-t-il d'autres ? le problème reste ouvert.
Avec des polygones à sept côtés ou plus, c'est impossible.

pavages avec des polygones
ces images viennent de et
une belle animation pour explorer les quinze types

exercices : •  Dessiner différents pavages constitués de rectangles 2×1, puis déterminer le groupe de chaque pavage (prendre le plaisir de chercher avant de consulter quelques exemples).
•  Il y a 11 pavages (semi)réguliers avec des polygones réguliers : 3 réguliers avec seulement un polygone, 6 avec deux polygones et 2 avec trois polygones. Les groupes correspondants sont parmi les plus riches : certains sont évidents, pouvez-vous les trouver tous ?
•  Quels groupes correspondent aux 15 pavages avec des pentagones ?
vidéo : classer les pavages  trouvée sur Youtube : Deux minutes pour... (19' - 60 Mb)
algorithmes : tiling recognition  par Brian Sanderson (en anglais)  -  reconnaissance des pavages  par Nicolas Hannachi
références : •  DISCRETE GROUPS OF PLANE ISOMETRIES - A new classification and their representations as Wallpaper groups.
      par Georges Lion (2010, en anglais)
•  Les isométries planes, les groupes de frises, les groupes de pavages ... sur www.answers.com (en anglais)
•  Une étude complète des isométries planes (PDF de 450 Ko, en français)
•  La notation "orbifold" de J.H.Conway (en anglais et italien)
•  The Discontinuous Groups of Rotation and Translation in the Plane  pages web très complètes de Xah Lee (en anglais)
•  Crystallography Now  par George Baloglou (en anglais)
•  Subgroups lattices for crystallographic groups  par Raymond F. Tennant (en anglais)
•  Tess  est un programme de dessins symétriques (utilisé pour les figures de cette page)
•  avec l'applet Kali  on peut utiliser tous les groupes ci-dessus (programme téléchargeable)
•  collections de motifs et de pavages organisées selon leurs groupes de symétrie, et bien davantage ! (en anglais)
•  Pattern Recognition Algorithm  de Brian Sanderson (un algorithme pour reconnaître le groupe d'un pavage, en anglais) et exemples de pavages
•  Isohedrally compatible tilings  par Philip M. Maynard (en anglais)
•  Tiling the plane with congruent pentagons  par Doris Schattschneider (en anglais)
•  M.C. Escher: Vision of Symmetry  par Doris Schattschneider, Abrams, New-york, 1990-2004
•  Escher Web Sketch  avec un joli applet utilisant les groupes de pavages - le le monde des pavages  de Makoto Nakamura mérite une visite
•  Groupes cristallographiques du plan  de Xavier Hubaut (une autre approche par les centres de rotations) - copie de la version pdf
•  Les pavages du plan  de Xavier Hubaut : exemples avec des dessins de M.C. Escher - copie de la version pdf

des pavages de M.C. Escher

pavage Caire pavage Caire pavage Caire pavage Caire
Le pavage du Caire dans deux dessins de M.C. Escher (1967)
poissons1 poissons2 poissons3
Poissons de M.C. Escher (1938, 1940 & 1943)
CircleLimit3

Circle Limit III  (sculpture sur bois de M.C. Escher - 1959)

Ce dessin représente aussi un pavage, mais nous sommes ici dans le disque de Poincaré, un modèle du plan hyperbolique. Un autre monde...

• Hyperbolic tessellations  par David E. Joyce
•  Hyperbolic planar tessellations  par Don Hatch


Voir aussi les pavages non périodiques de Penrose.



février 2007
mis à jour 29-01-2018