exemples divers de polyèdres non convexes

Rappels : Un polyèdre est convexe si toutes ses diagonales sont à l'intérieur ou sur sa surface.
Une diagonale d'un polyèdre est un segment joignant deux sommets et qui n'est pas une arête.

quelques exemples classiques

composé de deux prismes triangulaires
(prisme de base une étoile de David)

pyramide régulière pentagrammique
(base: pentagone étoilé)

prisme régulier pentagrammique
(polyèdre uniforme)

une étoile pentagonale
(squelette de triangles d'or de même base)

bipyramide pentagrammique
(dix triangles équilatéraux qui se coupent)

antiprisme régulier pentagrammique non croisé
(polyèdre uniforme)

Ce polyèdre uniforme, le tétrahémihexaèdre, n'a que sept faces : quatre triangles et trois carrés passant par le centre et deux à deux orthogonaux. Ses douze arêtes sont les côtés des quatre triangles. C'est une surface à un seul côté, donc non orientable.
Cet heptaèdre est un octaèdre régulier facetté ; on a excavé quatre pyramides régulières trirectangles.

Le triacontaèdre rhombique médial est le dual du dodécadodécaèdre (polyèdre uniforme) ; c'est une stellation du triacontaèdre rhombique avec des sommets pentagrammiques intérieurs cachés.

le petit rhombihexaèdre (polyèdre uniforme)
(18 faces, dont 6 octogones qui se coupent)

et son dual : le petit rhombihexacron
(24 faces "papillons" : quadrilatères croisés symétriques)

deux curieux dodécaèdres équifaciaux

Les faces de ce dodécaèdre sont des pentagones symétriques non convexes (partie de pentagramme) identiques. Il a une symétrie tétraédrique avec seulement trois plans de réflexion deux à deux orthogonaux. Curiosité : en alternant ce polyèdre avec un dodécaèdre régulier on peut remplir l'espace.
Les faces de ce dodécaèdre décrit par George Olshevsky sont aussi des pentagones non convexes identiques découpés dans un triangle d'or à angles aigus : une face est l'assemblage de deux triangles d'or à angle obtus (un sommet du pentagone appartient au côté opposé). Il a une symétrie tétraédrique sans plan de réflexion, donc existe en deux versions images dans un miroir.

un octaèdre facile à construire

Le patron de ce deltaèdre non convexe est aussi un patron de l'octaèdre régulier ; cela signifie que les deux polyèdres ont les mêmes faces, mais l'un est convexe et l'autre ne l'est pas.

Les deux côtés marqués d'un point rouge forment l'arête de l'unique "pli vallée".

deux deltaèdres de Möbius (Roger Kaufman)

Toutes les faces de ces deux polyèdres sont des triangles équilatéraux et toutes les arêtes appartiennent aux plans de symétrie.

symétrie tétraédrique (6 plans de symétrie, 24 faces)

symétrie octaédrique (9 plans de symétrie, 48 faces)

deux autres jolis deltaèdres (Robert Dawson)

Toutes les faces de ces deux polyèdres sont des triangles équilatéraux ; on a assemblé des "pochettes" (bipyramides "ouvertes") pour former des anneaux fermés.

7x(2x5) = 70 faces

3x(2x5) + 3x(2x4) = 54 faces

deux polyèdres non convexes à faces régulières avec des pentagones qui se coupent (Richard Klitzing)

3 triangles, 3 carrés et 3 pentagones

un toroïde avec 6 triangles et 6 pentagones

deux composés de trois prismes carrés

Sur les deux composés l'intersection des trois prismes est un cube ; taper "f" pour voir ce cube caché.

références :

• http://cs.stmarys.ca/~dawson/images3.html par Robert Dawson (en anglais).
• Hedron par Jim McNeill

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janvier 2001
mis à jour 08-08-2012