mis à jour 04-07-2005
Le facettage est un autre puissant outil moins connu ; c'est le processus dual de la stellation.
De la même façon que la stellation est définie comme deux polyèdres avec des faces dans les mêmes plans, le facettage peut être défini comme deux polyèdres avec les mêmes sommets. Ainsi le petit dodécaèdre étoilé, le grand dodécaèdre et le grand icosaèdre sont des facettages de l'icosaèdre ; quant au grand dodécaèdre étoilé, c'est un facettage du dodécaèdre. L'enveloppe convexe d'un polyèdre est un cas particulier de facettage.
Voici un exemple simple : l'étoile de Kepler (stella octangula) s'obtient par stellation de l'octaèdre régulier, mais aussi par facettage du cube. Ce composé de deux tétraèdres réguliers a huit faces triangulaires qui se coupent (les triangles des milieux, faces de l'octaèdre, ne sont pas visibles).
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stellation de l'octaèdre régulier |
facettage du cube : huit facettes triangulaires |
Un autre exemple : les deux polyèdres de Poinsot sont deux facettages de l'icosaèdre régulier :
• le grand dodécaèdre (une stellation du dodécaèdre) est formé par 12 facettes régulières pentagonales,
• le grand icosaèdre (une stellation de l'icosaèdre) est formé par 20 facettes régulières triangulaires.
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polyèdres convexes - polyèdres non convexes - polyèdres intéressants - sujets connexes | février 2004 mis à jour 04-07-2005 |