la formule d'Euler :   f + s = a + 2

Tous les polyèdres convexes vérifient cette relation entre les nombres de faces, de sommets et d'arêtes. En effet, la caractéristique  f+s-a  d'Euler-Poincaré d'un polyèdre convexe est 2 (théorème de Descartes-Euler).
Des discussions entre un professeur et ses élèves sur les hypothèses de la conjecture d'Euler permettent à Imre Lakatos de se livrer à une intéressante analyse du développement du savoir mathématique dans Preuves et Réfutations : essai sur la logique de la découverte mathématique  (Hermann, 1984).
D'autres polyèdres vérifie la formule d'Euler ; les polyèdres "sans trous", et plus généralement ceux topologiquement équivalents à un graphe connexe tracé sur une sphère. On peut démontrer cette relation à l'aide des diagrammes de Schlegel.
Les polyèdres convexes vérifient beaucoup d'autres relations numériques parmi lesquelles  a+6 ≤ 3f ≤ 2a  et  a+6 ≤ 3s ≤ 2a

Voici les caractéristiques des polyèdres semi-réguliers de première espèce (pour leurs duals il suffit d'échanger s et f) :

   s   a   f    f3 f4 f5 f6 f8 f10 polyèdre dual (face)
tétraèdre tronqué 12 18 8   4 - - 4 - - triakis-tétraèdre (triangle isocèle)
cube tronqué 24 36 14   8 - - - 6 - triakis-octaèdre (triangle isocèle)
octaèdre tronqué 24 36 14   - 6 - 8 - - tétrakis-hexaèdre (triangle isocèle)
cuboctaèdre 12 24 14   8 6 - - - - dodécaèdre rhombique (losange)
petit rhombicuboctaèdre 24 48 26   8 18 - - - - icositétraèdre deltoïdal (cerf-volant)
grand rhombicuboctaèdre 48 72 26   - 12 - 8 6 - disdyakis-dodécaèdre (triangle)
snub cube 24 60 38   32 6 - - - - icositétraèdre pentagonal (pentagone)
dodécaèdre tronqué 60 90 32   20 - - - - 12 triakis-dodécaèdre (triangle isocèle)
icosaèdre tronqué 60 90 32   - - 12 20 - - pentakis-dodécaèdre (triangle isocèle)
icosidodécaèdre 30 60 32   20 - 12 - - - triacontaèdre rhombique (losange)
petit rhombicosidodécaèdre 60 120 62   20 30 12 - - - hexécontaèdre deltoïdal (cerf-volant)
grand rhombicosidodécaèdre 120 180 62   - 30 - 20 - 12 disdyakis-triacontaèdre (triangle)
snub dodécaèdre 60 150 92   80 - 12 - - - hexécontaèdre pentagonal (pentagone)
prismes réguliers  2n   3n  n+2   - n - - - - diamants réguliers (triangle isocèle)
antiprismes réguliers 2n 4n 2n+2   2n - - - - - antidiamants réguliers (cerf-volant)

Dans "rhombicuboctaèdre" le préfixe "rhombi" indique que 12 faces carrées appartiennent aux faces d'un dodécaèdre rhombique (dual du cuboctaèdre).
De même les 30 faces carrées des "rhombicosidodécaèdres" appartiennent aux faces d'un triacontaèdre rhombique (dual de l'icosidodécaèdre).

Parmi les solides platoniciens et archimédiens le cuboctaèdre est le seul polyèdre inscrit dans une sphère de rayon égal à son arête (comme l'hexagone est le seul polygone régulier inscrit dans un cercle de rayon égal à son côté).
On remarque la pauvreté de la famille du tétraèdre : le tétraèdre tronqué par les milieux des arêtes est l'octaèdre, le "snub" tétraèdre est l'icosaèdre, mais la troncature au tiers produit le tétraèdre tronqué.
Les deux "snub" (et leurs duals) n'ont pas de plan de symétrie ; ils existent en deux formes, images dans un miroir.
Seuls cinq polyèdres (semi-)réguliers "pavent l'espace" : le cube, le prisme triangulaire, le prisme hexagonal, le polyèdre de lord Kelvin (octaèdre tronqué au tiers) et le dodécaèdre rhombique (dual du cuboctaèdre).

Généralisation à des polyèdres non convexes :   f+s = a+2-2t   où t est le nombre de tunnels du polyèdre (son genre).

dodécaèdre (bois) dodécaèdre (fil de cuivre) dodécaèdre (origami)
On peut réaliser de jolis polyèdres de bien des manières : bois collé, fil de cuivre soudé, origami...

Le théorème de déficience de Descartes :   Σδj = 4π

La déficience δ de l'angle solide d'un sommet d'un polyèdre est la différence entre 2π et la somme des angles de face en ce sommet :  δ=2π-Σαi radians  (π radians = 180°).
Le théorème de déficience (la somme des déficiences en tous les sommets d'un polyèdre est égale à 4π) est lié à la formule d'Euler ; il est vrai pour tous les polyèdres convexes (et plus généralement pour tous les polyèdres homéomorphes à une sphère).
exemples : cube :  8[2π-3(π/2)] = 4π
tétraèdre régulier :  4[2π-3(π/3)] = 4π
dodécaèdre régulier :  20[360°-3x108°] = 720°      
cuboctaèdre :  12[2π-2(π/2+π/3)] = 4π
pyramide régulière pentagonale :  5[360°-(108°+2x60°)]+(360°-5x60°) = 720°
dodécaèdre rhombique :  6[360°-4α]+8[360°-3(180°-α)] = 720°   α=35.265...°

Remarque sur la somme de tous les angles de faces :   (Σαij)/2π = a-f = s-2
exemples : cube :  8[3(π/2)]/2π = 6    12-6 = 8-2 = 6
tétraèdre régulier :  4[3(π/3)]/2π = 2    6-4 = 4-2 = 2
dodécaèdre régulier :  20[3x108°]/360° = 18    30-12 = 20-2 = 18  
cuboctaèdre :  12[2(π/2+π/3)]/2π = 10    24-14 = 12-2 = 10
pyramide régulière pentagonale :  [5(108°+2x60°)+5x60°]/360° = 4    10-6 = 6-2 = 4
dodécaèdre rhombique :  [6x4α+8x3(180°-α)]/360° = 12    24-12 = 14-2 = 12

d'autres polyèdres convexes ...

La convexité est une notion assez naturelle. Sans en donner une définition explicite, il est facile de reconnaître un polyèdre convexe : toutes ses "vraies diagonales" (segments joignant deux sommets n'appartenant pas à une même face) sont à l'intérieur.

Condition de Minkowski :  Soit  u1, u2, ... uk  des vecteurs unitaires qui engendrent l'espace, et  a1, a2, ... , ak  des nombres positifs. Alors il existe un polyèdre convexe (unique à translation près) dont les vecteurs unitaires normaux aux faces sont  u1, u2, ... uk  et les aires des faces correspondantes  a1, a2, ... , ak  si et seulement si   a1 u1 + ... + ak uk = 0  (condition pour les polytopes convexes)

On peut évidemment s'intéresser à une catégorie particulière de polyèdres convexes, par exemple :
 •  les polyèdres à faces régulières : on connaît les platoniciens, les archimédiens, les prismes et antiprismes ;
     les autres sont les 92 solides de Johnson (pyramides, diamants, coupoles... assemblages des précédents),
 •  les différents types d'hexaèdres, moins faciles à trouver que les tétraèdres (tous ont quatre faces triangulaires) ou les pentaèdres (dont les deux types sont les pyramides à base quadrilatère et les "toits" formés de trois quadrilatères et deux triangles),
 •  les deltaèdres dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux,
 •  les pyramides qui permettent de réaliser des puzzles,
 •  les tectoèdres qui s'obtiennent en pratiquant des coupes successives dans des tétraèdres,
 •  les polyèdres de Waterman dont les sommets sont les centres de sphères d'un empilement cubique compact,
 •  les zonoèdres dont toutes les faces ont un centre de symétrie,
 •  les polyèdres zoniques avec des "zones" de parallélogrammes,
 •  les polyèdres rhombiques dont toutes les faces sont des losanges,
 •  les polyèdres avec des faces régulières et des losanges d'or,
 •  les polyèdres avec des faces régulières et des trapèzes 1:1:1:2,
 •  les polyèdres avec des faces régulières et des losanges particuliers (R2 ou losanges d'or),
 •  les polyèdres sphériques (dômes),
 •  les polyèdres de Goldberg,
 •  les 144 polyèdres obtenus par troncatures d'arêtes du cube,
 •  les symétroèdres : polyèdres convexes avec "peu" de types de faces, dont "beaucoup" régulières (document pdf en anglais),
 •  des exemples simples de polyèdres canoniques avec un des 17 types de symétrie,
 •  . . .
De nombreux autres exemples ont d'intéressantes propriétés : l'alvéole d'abeille, les cristaux, les fullérènes (molécules de carbone) . . .

Les polyèdres avec seulement des faces pentagonales et hexagonales ont toujours douze faces pentagonales.
Les fullérènes ont de telles structures, par exemple le C60 (icosaèdre tronqué avec 20 faces hexagonales) et le C80 (triacontaèdre rhombique tronqué avec 30 faces hexagonales non régulières).

Les paralléloèdres de Fedorov vérifient trois conditions : les faces sont deux à deux opposées et parallèles, chaque arête appartient à un ensemble d'arêtes parallèles (4 ou 6 arêtes), et ils pavent l'espace en n'utilisant que des translations. Il n'y en a que cinq, à transformations affines près : l'octaèdre tronqué, le dodécaèdre rhombique allongé, le dodécaèdre rhombique, le prisme hexagonal (non nécessairement droit) et le cube (donc aussi tous les parallélépipèdes) ; en partant des 6 ensembles de 6 six arêtes parallèles de l'octaèdre tronqué, on supprime, par étapes, des ensembles d'arêtes parallèles pour arriver aux 3 ensembles de 4 arêtes du cube.

L'enveloppe convexe d'un polyèdre P est l'unique plus petit polyèdre convexe contenant P.

trois exercices amusants  (il faut évidemment CHERCHER avant de consulter les solutions)

 •  créer des polyèdres (dernier problème, tous niveaux, de l'Australian Mathematics Competition - 2000)
Cinq boîtes contiennent respectivement deux carrés et huit triangles, trois carrés et deux triangles, trois carrés et quatre triangles, quatre carrés et trois triangles, cinq carrés et quatre triangles. Les longueurs de tous les côtés de tous les carrés et de tous les triangles sont égales. On veut réaliser des polyèdres en assemblant toutes les pièces d'une boîte donnée. Avec combien de boîtes peut-on réussir cette construction ?
 •  ombres de polyèdres
Trouver un maximum de polyèdres dont l'ombre peut être un carré, respectivement un hexagone régulier.
 •  coupe pentagonale d'un cube (Cédric Villani)
Chacun sait que la coupe d'un cube par un plan peut être un carré, un triangle équilatéral ou un hexagone régulier. Comment doit-on s'y prendre pour obtenir une coupe qui soit un pentagone régulier ?

références :   •  Si vous désirez manipuler, modifier l'aspect, colorier selon vos goûts, et imprimer les patrons de 147 polyèdres convexes, alors POLY est le programme qu'il vous faut !
•  Avec STELLA vous pourrez accéder à une infinité de polyèdres (convexes ou non) et en créer de nouveaux. Un "must" pour ceux qui désirent plonger dans le monde des polyèdres !
•  Un bel ensemble de 30 polyèdres convexes en bois.
•  Quelques résultats concernant les polyèdres convexes par Gérard P. Michon (en anglais).


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mis à jour 03-11-2013