l'inversion

Une inversion IP,r est une transformation du plan (point M → point M') définie par PM'×PM=r² où les trois points P, M et son image M' sont alignés (appartiennent à une même droite), avec M et M' du même côté du centre P.
Le point P n'a pas d'image (quand M s'approche de P, son image M' file à l'infini !).
L'ensemble des points fixes (tels que M'=M) est clairement le cercle de centre P et de rayon r : c'est le cercle d'inversion.
L'originalité de cette involution (bijection qui est sa propre réciproque : M → M' → M pour tout point M) est de transformer une droite ne passant pas par P en un cercle passant par P, et réciproquement. Une droite passant par P est globalement invariante. Un cercle ne passant pas par P est transformé en cercle ; attention les centres des deux cercles ne sont PAS inverses !
Dans une inversion les angles sont préservés (transformation conforme), donc un cercle orthogonal au cercle d'inversion est globalement invariant.
En traitant les droites comme des cercles de rayon infini, tout cercle s'inverse en cercle. De plus deux cercles disjoints peuvent être transformés en eux-mêmes (chacun globalement invariant), en cercles concentriques (de même centre) ou en cercles isométriques (de même rayon).

pôle et polaire ("inversion polaire"):
Si A' est l'inverse de A par rapport à un cercle, la polaire de A est la perpendiculaire ΔA à (AA') passant par A' ; et de même la polaire de A' est la perpendiculaire ΔA' à (AA') passant par A.

Ainsi, un quadrillage (blanc, privé de son centre P) est transformé en une "grille" (rouge) formée de quatre demi-droites et d'arcs de cercles deux à deux orthogonaux (les arcs appartiennent à des cercles passant par P). Les intersections d'un segment du quadrillage et de son image (arc) appartiennent au cercle d'inversion (bleu).

quadrillage et son inverse
inverse d'une droite
(déplacez les gros points blancs A et B)
inverse d'un cercle
(déplacez les gros points blancs C et M)
inverse d'un quadrillage carré

Un bel exemple : les deux images ci-dessous représentent un échiquier superposé à son inverse.
Le cerle/carré extérieur ne sert qu'à limiter la taille du dessin ; en effet les quatre zones extérieures sont les images infinies des quatre cases centrales de l'échiquier (un de leurs sommet est le centre P). La partie centrale n'est pas colorée en vert/bleu ; c'est l'image de l'extérieur de l'échiquier.

échiquier et son inverse (en vert) échiquier et son inverse (en bleu)

Le fait qu'une inversion transforme droites et cercles en cercles ou droites et préserve les angles en fait un outil très important en géométrie plane : en choisissant un cercle d'inversion pertinent il est souvent possible de transformer une configuration géométrique en une autre plus simple dans laquelle une preuve est plus facile.

La définition et les propriétés de l'inversion plane restent vraies dans l'espace : il suffit de remplacer "droite" par "plan" et "cercle" par "sphère".
Deux applications : la dualité des polyèdres et les "kissing circles/spheres".

références : •  inversion - MathWorld (en anglais)
•  Éléments de géométrie - L'inversion  par Arnaud Bodin
•  Inversion géométrique - ChronoMath  par Serge Mehl
•  L'inversion  (Université Catholique de Louvain - Belgique)
•  Ceci n'est pas une géodésique ! (droite hyperbolique) - version PDF


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polyèdres convexes - polyèdres non convexes - polyèdres intéressants - sujets connexes août 2012
mis à jour 02-09-2012