coupes régulières de pyramides régulières

On connaît la coupe carrée du tétraèdre régulier (et plus généralement d'un tétraèdre avec deux arêtes opposées orthogonales et de même longueur) : le plan passe par les milieux de quatre arêtes et le côté du carré est la moitié de l'arête.
Curieusement il existe aussi une coupe régulière pentagonale de la pyramide carrée dont toutes les arêtes ont même longueur a. Les trois longueurs en vert sont égales et valent a×(3-√5)/2 = a×0,382...
Continuons... Existe-t-il une coupe régulière hexagonale pour une pyramide pentagonale dont toutes les arêtes ont même longueur? Non ! Il n'est même pas possible d'obtenir un hexagone équilatéral (les deux côtés rouges n'ont pas même longueur que les bleus).
Le cas de la pyramide carrée est donc assez "miraculeux".



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polyèdres convexes - polyèdres non convexes - polyèdres intéressants - sujets connexes octobre 2004
mis à jour 13-08-2012