exemples divers de polyèdres curieux

deux zonoèdres rhombiques (Russel Towle)

Les zonoèdres sont des polyèdres convexes dont les faces ont un centre de symétrie (donc un nombre pair de côtés deux à deux opposés, parallèles et de même longueur). Cependant on peut construire des polyèdres non convexes avec de telles faces.
Voici deux exemples dont les faces sont des losanges.

un zonoèdre polaire (convexe)

un spiraloèdre d'ordre 5 (non convexe)

un quasi-polyèdre (Jim McNeill)

un anneau de treize antiprismes carrés

des polyèdres pour approcher des solides (Eric W. Weisstein - MathWorld)

On a vu que les polyèdres sphériques permettent d'approcher la sphère ; de même on peut approcher d'autres solides par des polyèdres, ou utiliser des surfaces polyédriques pour visualiser des surfaces dans l'espace.

le tore
Il en existe trois types : le classique anneau, l'anneau fermé et un troisième, moins connu, où la surface se recoupe pour former deux parties : la pomme  (l'extérieur) et le citron  (l'intérieur).
Rappel : "glisser-droit vertical" permet de supprimer des faces, donc de voir l'intérieur du tore (et en particulier le citron  caché dans la pomme ).
 


le sphéricon et l'oloïde
Si on coupe un bicône de hauteur égale au diamètre en deux en passant par son axe (la coupe est carrée), on obtient le sphéricon (C. J. Roberts) par rotation d'une des moitiés d'un quart de tour autour de l'axe du carré. Ian Stewart lui consacra un article intitulé Cone with a Twist.
La même transformation sur un cylindre de hauteur égale au diamètre donne le dual (le cylindre est dual du bicône).
De la même façon, sur un cône d'angle au sommet de 60°, on peut tourner une moitié de 120°.
D'autres formes peuvent être utilisées pour créer de curieux solides avec cette technique.
L'oloïde est l'enveloppe convexe de deux disques orthogonaux avec le centre de l'un sur le bord de l'autre (Paul Schatz).
 


bon petit déjeuner !
Une tranche de pastèque et un croissant. Attention ! vous ne pouvez pas utiliser la bouteille de Klein pour votre café ; ce n'est pas un polyèdre mais une surface non orientable à une seule face (comme une bande de Möbius) qui n'a ni intérieur, ni extérieur !


références : •  zonohedra par Russel Towle (en anglais)
•  torus (MathWorld) par Eric W. Weisstein (en anglais)
•  Le Sphericon  par P.J. Roberts, Roger Kaufman et Steeve Mathias

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anglais 		polyèdres convexes - polyèdres non convexes - polyèdres intéressants - sujets connexes octobre 2004
mis à jour 30-09-2008