le "jitterbug"

R. Buckminster Fuller a appelé "vector equilibrium" (VE) un ensemble de douze vecteurs de l'espace définis par le centre et les 12 sommets d'un cuboctaèdre (c'est la seule configuration spatiale dans laquelle les arêtes sont égales à la distance radiale du centre de gravité à chaque sommet) ; les angles entre un vecteurs et ses quatre "voisins" valent tous 60° et les vecteurs sont deux à deux opposés. Le VE est évidemment relié au CCP ("cubic close packing" : empilement cubique compact de sphères).
"Jitterbug" est le nom donné par Fuller à une transformation du modèle articulé de VE dans lequel les 12 sommets se déplacent symétriquement. Le jitterbug transforme en douceur un cuboctaèdre en un octaèdre régulier avec une position intermédiaire icosaédrique ; il apparaît donc comme un mouvement unificateur entre les symétries polyédriques d'ordre 4 (octaédrique) et d'ordre 5 (icosaédrique).

le mouvement jitterbug

À première vue le mouvement de ce fascinant objet semble complexe, mais il est assez simple quand on observe le mouvement de l'un des huit triangles. C'est un déplacement radial combinée à une rotation autour du 3-axe de symétrie du triangle (un "vissage"). Deux triangles se déplacent symétriquement le long et autour de chacun des quatre 3-axes de symétrie de l'octaèdre.
Comme le triangle ne change pas de taille durant le mouvement, ses trois sommets se déplacent sur la surface d'un cylindre, et des considérations de symétrie contraignent chaque sommet du jitterbug à rester dans un plan. Donc deux sommets opposés du jitterbug se déplacent sur des partie symétriques d'une ellipse (il y a 12/2=6 ellipses, chacune d'elles est l'intersection de deux cylindres et passe par 4 sommets de l'octaèdre).

animation

Autour du jitterbug animé se trouvent les quatre positions remarquables : cuboctaèdre, octaèdre, icosaèdre et, la moins connue, dodécaèdre.
La distance des triangles au centre est donnée par  e×Rac[2/3]×Cos[a]  où e est la longueur de l'arête et a l'angle de la rotation.
Les valeurs de a pour les quatre positions sont respectivement 0°, 60°, environ 22,24° et environ 37,76° (Robert W. Gray, davantage dans les références).

références : •  A Fuller Explanation  (chapitre 11) par Amy C. Edmondson (en anglais)
•  Jitterbug defines polyhedra" et "The Jitterbug Motion" : pages web par Robert W. Gray (en anglais)
•  applet jitterbug de Bob Burkhardt  -  animations jitterbug par Adrian Rossiter

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anglais 		polyèdres convexes - polyèdres non convexes - polyèdres intéressants - sujets connexes avril 2005
mis à jour 30-04-2005