exemples divers de polyèdres convexes 2

Rappels : Un polyèdre est convexe si toutes ses diagonales appartiennent à l'intérieur ou à sa surface.
Une diagonale d'un polyèdre est un segment joignant deux sommets et qui n'est pas une arête.

les polyèdres de Goldberg

Les polyèdres convexes de cette famille décrite par Michael Goldberg en 1937 n'ont que des faces pentagonales et hexagonales avec exactement trois faces se rencontrant en chaque sommet et ils ont une symétrie icosaédrique Ih ou I  (avec ou sans plans de symétrie). Un tel polyèdre a nécessairement 12 faces pentagonales régulières.
preuve : Ces polyèdres vérifient la formule d'Euler  f+s=a+2  avec  f=f5+f6  Puisque 3 faces se rencontrent en chaque sommet on a  s=(5f5+6f6)/3   a=(5f5+6f6)/2  et la formule d'Euler donne alors  f5=12
Remarque : on montre de même qu'un polyèdre convexe à faces carrées et hexagonales a nécessairement 6 faces carrées.

On connaît déjà l'icosaèdre tronqué (20 hexagones réguliers) et le dodécaèdre chanfreiné (30 hexagones à axe de réflexion). Voici trois autres exemples :

60 hexagones à symétrie axiale

80 hexagones dont 20 réguliers

120 hexagones dont 60 irréguliers

avec des "anneaux" de carrés...

Si on insère trois anneaux de quatre carrés le long des arêtes d'un octaèdre régulier (12 carrés et les 6 intersections carrées des anneaux) on obtient le petit rhombicuboctaèdre.

On peut insérer un anneau de six carrés le long de chacun des quatre "équateurs hexagonaux" du cuboctaèdre (faces en bleu foncé).
Avec un anneau on obtient le solide de Johnson J36.
Avec les quatre "anneaux" on a 24 carrés et 12 losanges (faces d'un dodécaèdre rhombique) aux intersections, soit (6+8)+24+12=50 faces.

De même l'icosidodécaèdre (faces en bleu foncé) a six "équateurs décagonaux".
Avec un anneau de dix carrés on obtient un autre solide de Johnson : J43.
Trois "anneaux" peuvent être disposés de deux manières pour former deux jolis polyèdres, l'un aplati et l'autre étiré.
Avec les six "anneaux" on a 60 carrés et 30 losanges d'or (faces d'un triacontaèdre rhombique) aux intersections, soit (20+12)+60+30=122 faces.

deux rhombicosidodécaèdres avec des rectangles d'or (Ulrich Mikloweit)

Ces deux polyèdres sont issus du petit rhombicosidodécaèdre dans lequel on a replacé les 30 carrés par des rectangles d'or. Il y a deux façons de disposer les rectangles ; avec des rectangles de même taille on obtient donc deux polyèdres différents (sur les deux solides les 20 triangles et les 12 pentagones ont des tailles différentes).
La présence de triangles le long de deux côtés opposés de chaque rectangle crée une illusion d'optique, mais les 2×30 rectangles sont identiques.

un disphénoïde tétragonal (polyèdre noble)

Un polyèdre est noble s'il est à la fois isohédral (toutes les faces sont identiques) et isogonal (tous les sommets sont identiques). Le dual d'un polyèdre noble est aussi noble.

Un disphénoïde est un tétraèdre équifacial (quatre faces identiques) ; les faces d'un disphénoïde tétragonal sont isocèles et disposées en forme de double coin (sphénoïde vient du mot grec signifiant coin ou cale).

Les faces de ce disphénoïde tétragonal ont pour côtés a√3, a√3 et 2a. Son patron s'obtient très simplement par pliage d'une feuille de format A (2a × 2a√2). Il pave l'espace.

disphénoïde tétragonal

un pentaèdre "élémentaire"

Ce curieux pentaèdre est un tectoèdre d'ordre 4 (tétraèdre dont on a tronqué un sommet).
Avec son "jumeau" (image dans un miroir) ils peuvent servir de briques pour construire les cinq paralléloèdres de Fedorov ; ils pavent donc l'espace selon au moins cinq assemblages différents.

Le patron est un assemblage de triangles rectangles (les trois quadrilatères sont inscrits dans des cercle centrés aux milieux de leurs grandes diagonales).
Pour obtenir l'image dans un miroir il suffit de retourner le patron et de le plier à l'envers.
patron

un polyèdre inhabituel

On voit rarement des polyèdres non triviaux à faces heptagonales ; celui-ci, construit par Marcel Tünnissen, a une symétrie tétraédrique complète.
Toutes ses faces sont équilatérales (arêtes de même longueur) : 12 heptagones et 16 triangles.

l'icosaèdre de Kirkman

Avec 8 pentagones et 12 triangles, cet icosaèdre a de remarquables propriétés :
  • les coordonnées de ses sommets sont de "petits" entiers,
  • les longueurs de ses arêtes sont entières, et curieusement son volume aussi,
  • il est auto-dual et ses arêtes sont tangentes à une même sphère, ...

  (des détails et davantage de surprenantes propriétés dans A polyhedron full of surprises  de Hans L. Fetter)

des polyèdres à faces quasi-régulières

Ces polyèdres ne sont pas des polyèdres de Johnson car les faces en bleu foncé sont seulement "presque" régulières.


un cube incrusté dans un icosaèdre
(Jim McNeill)


un "fullérène" avec 4 hexagones et 12 pentagones
symétrie tétraédrique (Robert Austin & Roger Kaufman)


un coin
(Robert Webb & Alex Doskey)



Davantage d'exemples sur une autre page.


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polyèdres convexes - polyèdres non convexes - polyèdres intéressants - sujets connexes avril 1999
mis à jour 08-03-2014