[Note: cet article a été publié dans le numéro spécial 2003 consacré aux polyèdres du journal Symmetry: Culture and Science]

Stella : Navigateur de Polyèdres

Great Stella
page d'accueil de Great Stella (en anglais)
Robert Webb 
Melbourne, Australie
traduction française de Maurice Starck (mars 2003)
version anglaise
original version in ENGLISH

Résumé

Nous présentons Stella, un logiciel de navigation dans le monde des polyèdres [note du traducteur : l'interface de Stella est en anglais]. L'utilisateur commence par choisir dans une longue liste de modèles disponibles, puis utilise des fonctions avancées comme stellation, facettage, augmentation et excavation pour explorer les trillions d'autres possibilités. Le groupe de symétrie de chaque modèle est établi et les symétries peuvent êtres affichées. Les patrons de construction de tout modèle susceptible découvert peuvent être imprimés. Les modèles peuvent aussi être transformés par morphing en leurs duals, en temps réel sur l'écran de l'ordinateur, en utilisant une des cinq différentes techniques.

Pour expliquer les concepts mis en jeu, cet article constitue aussi un véritable tour d'horizon de quelques-unes des idées majeures de la théorie actuelle des polyèdres.

1. Introduction

Fig 1. Copie d'écran de Great Stella
Beaucoup de polyèdres sont beaux à voir. L'esprit est maintenu en alerte pour essayer de saisir les diverses relations qui peuvent exister dans un modèle quelconque donné. Les polyèdres sont un bel exemple de rapports entre art, artisanat et mathématiques. Cependant, le niveau de mathématiques et le talent de dessinateur nécessaires à la réalisation de beaucoup de modèles permettent difficilement à tout un chacun d'en faire un passe-temps ; le temps exigé par la construction d'un modèle donné peut devenir considérable. Quelques polyèdres simples, comme les platoniciens et les archimédiens, ne posent pas un grand défi puisque leurs faces sont des polygones réguliers qui ne se coupent pas. Mais les autres polyèdres uniformes, leurs duals, et les stellations sont des gageures. Les mesures de certains de ces modèles sont disponibles sur l'Internet ou dans des livres, en particulier le magnifique "Polyhedron Models" [28] et "Dual Models" [29] de Wenninger, mais un important travail est laissé au lecteur, surtout dans le second ouvrage (et comme les calculs ont été faits à la main, il a y même des erreurs pour les polyèdres compliqués).

L'utilisation d'un ordinateur peut simplifier les choses. Dans cet article nous présentons un programme informatique appelé Great Stella [27], ou Stella en abrégé, qui permet à l'utilisateur d'explorer un nombre considérable de polyèdres, et d'imprimer les patrons nécessaires à leur réalisation. Ceci évite à l'utilisateur des calculs délicats qui demandent beaucoup de temps et sont sujet à erreurs. De même on évite le tracé des divers patrons qui demande aussi du temps et qui peut aboutir à accumuler des imprécisions. Il ne reste que le travail de découpage, d'assemblage et de collage des pièces. Cette automatisation rend le travail accessible à un public bien plus large.

Que l'utilisateur soit intéressé ou non par la construction de modèles qui lui soient personnels, Stella lui permet de créer et de visualiser des modèles sur l'écran de l'ordinateur. Le programme lui permet de naviguer dans un grand nombre de modèles et de les faire tourner sur l'écran en temps réel. Tous les polyèdres uniformes sont disponibles à partir de la liste des modèles intégrés. L'ensemble comprend les solides bien connus de Platon, Archimède et Kepler-Poinsot, une infinité de prismes et d'antiprismes, et cinquante-deux autres polyèdres non convexes. Cet ensemble, décrit dans son intégralité par Coxeter en 1954 [2], est bien connu pour son attrait (voir figure 2 par exemple). Skilling a prouvé en 1975 [22] que l'ensemble est complet, et a introduit un nouveau modèle qui est aussi uniforme, mais qui n'est pas reconnu comme un vrai polyèdre puisque plus de deux faces se rencontrent en certaines arêtes. Le nouveau modèle de Skilling est aussi intégré dans Stella. Les solides de Johnson [10] (tous les polyèdres convexes, non uniformes, à faces régulières), de nombreux toroïdes de Stewart [25] (polyèdres à faces régulières qui ne se coupent pas, de genre supérieur à zéro), et d'autres sont aussi intégrés. Le programme peut aussi générer les duals de tous ces modèles (voir partie 2), et l'utilisateur dispose d'un ensemble d'outils pour créer de nouveaux modèles.

Fig 2. Grand rhombicosidodécaèdre
Des outils tels que stellation, facettage, augmentation et perforation augmentent considérablement le nombre de polyèdres accessibles, et ouvrent un boulevard de créativité pour la découverte de nouveaux modèles. De nombreux travaux de recherche et ouvrages consacrés à la théorie de la stellation ont été publiés ([1], [6], [7], [8], [14], [16], [17], [20], [21], [23]), et les livres de Wenninger ([28], [29]) présentaient aussi une collection de stellations. Stella constitue l'apogée de toute cette théorie et peut être utilisé pour produire la plupart des modèles présentés dans ces publications, et beaucoup d'autres. Le facettage est un autre puissant outil, mais il n'apparaît guère dans la documentation disponible ([3], [9]).

La figure 1 montre à quoi ressemble le programme. La grande fenêtre à gauche montre le composé de cinq tétraèdres qui est une stellation de l'icosaèdre. Les petites fenêtres montrent, en haut à gauche un des patrons nécessaires, en haut à droite l'icosaèdre lui-même, le dessin de la stellation en bas à gauche, et le diagramme des cellules en bas à droite (ces termes seront présentés de façon plus détaillée ci-dessous). La disposition des fenêtres est configurable.

Dans cet article toutes les images sur fond noir sont des photographies de modèles réalisés par l'auteur en utilisant des patrons imprimés par Stella. Les patrons ont été imprimés directement sur le papier coloré utilisé pour la construction. Toutes les autres images ont aussi été crées en utilisant Stella. Le programme tourne sous Windows 95/98/ME/NT/2000/XP. Il a aussi été utilisé avec succès sur un Mac via l'émulateur de Windows "Virtual PC".

Dans la partie 2 de cet article nous expliquons la notion de dualité. Dans la partie 3 nous décrivons le processus de stellation et un peu de la théorie correspondante. La
partie 4 explique la création et l'impression de patrons, et comment la théorie de la stellation peut y aider. La partie 5 discute du facettage qui est le processus dual de la stellation. La partie 6 traite de l'augmentation, de l'excavation et de la perforation. La partie 7 traite des symétries et de l'utilisation des sous symétries, en conjonction avec les opérations décrites précédemment. La partie 8 présente nos techniques de morphing entre modèles duals. Et pour finir, la partie 9 examine quelques-unes des possibilités supplémentaires non encore abordées.

2. Duals

Pour tout polyèdre il existe un autre polyèdre qui est son dual. Prendre le dual de ce polyèdre dual ramène à nouveau au polyèdre initial. Pour simplifier, les sommets sont remplacés par des faces, les faces par des sommets, et les arêtes par de nouvelles arêtes orthogonales aux arêtes initiales.
Fig 3. Composé
de cube et d'octaèdre
Plus précisément, la technique utilisée pour créer un dual est la conjugaison par rapport à une sphère, le polyèdre dual obtenu dépendant du choix de la sphère. Habituellement on place le centre de la sphère au centre de symétrie, s'il existe (point de concours des axes et plans de symétrie). Le rayon de la sphère est habituellement le "mi-rayon" du polyèdre, s'il existe (rayon de la sphère tangente à toutes les arêtes du modèle). Stella choisit une sphère appropriée pour cette opération.

Soit r le rayon la sphère choisie, et C son centre. Si la distance du plan d'une face à C est d, alors la distance de C au sommet dual correspondant est  r2/d. De même, si la distance d'un sommet à C est d, alors la distance de C au plan contenant la face duale est encore r2/d. De plus, la direction de C orthogonale au plan de la face duale est la même que la direction de C au sommet initial, et la direction de C au sommet dual est la même que la direction orthogonale à la face initiale.

Ci-dessus nous nous référons au plan de la face plutôt qu'à la face parce que la distance de C doit être mesurée au point le plus proche du plan de la face qui peut évidemment être situé hors de la face.

Les sommets et les faces du modèle dual peuvent être obtenues à partir de ces simple formules. Remarquons qu'à plusieurs faces coplanaires correspond le même sommet dual. Remarquons aussi que si une face passe par le centre de la sphère, son sommet dual sera à l'infini, puisque la distance à ce sommet sera le résultat d'une division par d qui donne zéro.

Stella permet à l'utilisateur de voir un polyèdre et son dual en même temps dans deux fenêtres séparées. Il peut aussi afficher le composé des deux. Par exemple le cube et l'octaèdre sont duals. Leur composé est montré dans la figure 3. Les patrons pour la construction de ces composés sont aussi disponibles dans Stella.

3. Stellation

3.1. Qu'est-ce qu'une stellation ?

La stellation ouvre la voie à une collection infinie de modèles fascinants. Le nombre de stellations d'un seul polyèdre s'élève souvent à des trillions. La définition la plus générale dit que deux polyèdres sont des stellations l'un de l'autre si leurs faces sont incluses dans le même ensemble de plans. La définition exacte est l'objet d'un débat, mais l'auteur croit que toutes les autres définitions conduisent à des sous-ensembles de celui qui vient d'être défini. Davantage de justification de cette définition sera donné ci-dessous, mais d'abord un peu plus de théorie est nécessaire. Parfois plusieurs stellations peuvent apparaître comme identiques. Par exemple, considérons le grand dodécaèdre, qui est une stellation du dodécaèdre, et est formé par l'intersection de douze pentagones (voir figure 4). Quand on observe ce modèle, une partie de chaque pentagone est cachée, car intérieure au solide. Il en résulte que pour chaque pentagone, seules cinq régions triangulaires sont visibles, ainsi le modèle peut aussi être
Fig 4. Grand dodécaèdre
considéré comme formé de ces seuls triangles visibles. Le polyèdre aurait alors soixante faces triangulaires, et pas de parties cachées. Il y a aussi d'autres polyèdres qui, de l'extérieur, paraissent identiques au grand dodécaèdre. Néanmoins, dans tout ensemble de stellations qui sont identiques en apparence, il y en a exactement une qui est formée uniquement des parties qui sont visibles, ou plutôt accessibles, de l'extérieur. Les stellations créées dans Stella sont de ce type, mais à part cela il n'y a pas de restriction à ce dont une stellation peut être formée (excepté que les parties doivent être finies). Par exemple, si l'utilisateur créait le grand dodécaèdre comme stellation du dodécaèdre, le modèle qu'il obtiendrait serait effectivement constitué de soixante triangles, et pas de douze pentagones, mais, à part cela, serait identique en apparence au vrai grand dodécaèdre. Il est néanmoins important de reconnaître que les deux polyèdres sont vraiment différents. Si l'utilisateur souhaite faire la distinction entre de multiples possibilités, il peut utiliser le facettage (voir partie 5).

Alors comment trouver les stellations d'un polyèdre ? Chaque face du polyèdre est dans un plan. Nous pouvons penser que chacun de ses plans découpe l'espace, le partageant en une collection de cellules convexes tridimensionnelles. Le premier plan partage l'espace en deux régions, le deuxième partage chacune de ces régions en deux, ce qui nous donne quatre régions (à moins qu'il ne soit parallèle au premier), et de même, le troisième nous donne sept ou huit régions. Toutes ces régions sont cependant infinies, c'est à dire aucune de ces régions n'est encore entièrement limitée par des plans. Quand nous ajoutons le quatrième plan les choses deviennent plus intéressantes, car maintenant il y a une cellule finie, limitée par des plans de tous côtés. C'est à cette configuration que conduit la stellation du tétraèdre. La seule cellule finie est le tétraèdre lui-même, et il n'y a donc pas d'autre stellation.

Le dodécaèdre est un cas plus intéressant. Ses 12 faces se trouvent dans 12 plans qui découpent l'espace en 63 cellules finies. Du fait de la symétrie du polyèdre initial, les cellules se répartissent en ensembles symétriques, que nous appellerons types de cellules. Les 63 cellules se répartissent en quatre types. Le dodécaèdre lui-même est la cellule centrale, la seule de ce type (voir figure 5a). Le type suivant est constitué de 12 pyramides pentagonales qui se trouvent sur chaque face du dodécaèdre, donnant naissance au petit dodécaèdre étoilé (voir figure 5b). Puis viennent 30 coins tétraédriques qui s'ajustent entre les pointes du modèle précédent pour former le grand dodécaèdre (voir figure 5c). Et finalement, 20 bipyramides s'ajustent dans les fossettes du grand dodécaèdre pour former le grand dodécaèdre étoilé (voir figure 5d). Nous construisons différentes stellations en incluant différentes combinaisons de types de cellules. On exige habituellement qu'une stellation ait les mêmes axes de symétrie que le polyèdre initial, donc nous incluons soit toutes les cellules d'un type, soit aucune. Pour cette raison cellule et type sont synonymes quelque soit l'objectif ; à partir de maintenant nous utiliserons simplement "cellule" pour "type de cellules".

Fig 5a.
Fig 5b.
Fig 5c.
Fig 5d.
Fig 5. Stellations du dodécaèdre - on ajoute une cellule à la fois - montrant où ira la cellule suivante dans l'armature "fil de fer"

Le processus de stellation exécuté par Stella est très rapide quand on le compare à d'autres programmes réalisant des stellations ; il faut une seule seconde pour un polyèdre uniforme ou un de leurs duals sur une machine moyenne, là où d'autres programmes peuvent mettre de nombreuse minutes, voire pire. En interne, Stella commence par générer les diagrammes plans de stellation (voir partie 3.3). Ceci tire avantage de la symétrie du modèle en créant seulement des diagrammes pour une des faces de chaque type, et réduit aussi la tâche de trois à deux dimensions, où les calculs peuvent être effectués plus efficacement. Ces deux aspects permettent de grandes économies de temps et de mémoire. Les cellules sont ainsi créées comme ensembles des régions élémentaires qui les englobent. Encore une fois, des données sont nécessaires pour chaque type de cellules plutôt que pour chaque cellule particulière. D'autres approches ont commencé par générer la géométrie de chaque cellule particulière, puis grouper les cellules en types et générer les diagrammes de stellation. Ces approches sont plus directes, mais bien moins efficaces.

3.2. Alors qu'est réellement une stellation ?

Comme indiqué plus tôt, il y a récemment eu quelques débats sur la définition d'une "stellation". Dans cet article nous disons que deux polyèdres peuvent être des stellations l'un de l'autre. Ainsi, par exemple, on peut dire que le dodécaèdre est en fait une stellation du grand dodécaèdre. Néanmoins, dans Regular Polytopes [3], Coxeter fait mention d'extensions des faces jusqu'à ce qu'elles se rencontrent à nouveau, ce qui traduit l'impression que le processus de stellation ne peut se faire que vers l'extérieur. Le terme lui-même signifie transformer en étoile, et a une dimension émotionnelle car il évoque des images d'objets avec des pointes acérées. Ainsi notre définition est-elle en contradiction avec la littérature existante ?

Une idée à laquelle peu de publications se sont attaquées dans le passé, est la stellation de polyèdres non convexes. On pourrait simplement la rejeter, mais nous ne voyons pas de raison légitime pour le faire. La stellation est réellement une opération pour laquelle la donnée est un ensemble de plans. Les plans sont habituellement les plans des faces d'un polyèdre donné, mais il n'y a pas de raison évidente d'imposer au polyèdre d'être convexe (ou même d'exiger que les plans soient issus d'un polyèdre !). L'ensembles des plans peut être utilisé pour générer tous les modèles possibles avec des faces dans ces plans, et appellerons ces modèles des stellations. Ceci est l'opération de base qui est effectuée. Ce serait une restriction apparemment inutile de n'autoriser que les stellations qui seraient des "extensions" du polyèdre initial, quelle qu'en soit la signification exacte.

Bien évidemment, dans "The Fifty-Nine Icosahedra" [1] - les 59 icosaèdres -, Coxeter inclut des stellations creuses de l'icosaèdre, où les faces de l'icosaèdre initial ne sont plus présentes. Ceci semble aussi aller contre l'idée d'"extension de faces", mais le point important est que les plans des faces sont encore présents. Si ces modèles n'étaient pas considérés comme des stellations de l'icosaèdre, alors de quoi sont-ils des stellations ? Ou alors ceci est-il un autre cas pour lequel nous traçons une ligne arbitraire et rejetons l'idée même de stellation ? La littérature antérieure a utilisé la terminologie appropriée à l'époque. "Polytopes Réguliers" ne concernait pas la stellation dans un but autre que sa relation aux polytopes réguliers (en dimension trois, un polytope est simplement un polyèdre), ainsi il était opportun dans ce cas de simplement considérer l'"extension des faces", puisqu'on ne voulaient pas s'occuper de polyèdres creux et autres cas semblables. Plus généralement, la terminologie a reflété le fait que divers auteurs n'avaient traité que la stellation d'un noyau convexe. Les stellations étaient toujours des "extensions" au sens où si on part d'un polyèdre convexe, on ne peut en obtenir de plus petit.

Dans cet article nous étendons la définition pour permettre la stellation de polyèdres non convexes, et permettre à ces stellations être plus petites ou plus grandes que le modèle initial. Donc nous devons inclure le noyau convexe comme une de ses stellations. Cette définition ne contredit aucun des travaux publiés précédemment ; elle conduit simplement le concept à sa conclusion naturelle. Souvent, quand un domaine scientifique se développes, d'anciennes idée sont appliquées à de nouvelles situations qui n'étaient pas prises en considération auparavant. Les vieilles idées doivent alors être mises à jour. La chose importante à comprendre c'est que les concepts mis à jour s'appliquent toujours aux anciennes situations, et qu'ils connaissent une extension naturelle dans de nouvelles situations.

Peut-être le terme "stellation", chargé d'émotion, ne semble-t-il pas plus longtemps tout à fait correct, mais il a encore l'air correct dans la plupart des cas, et il ne serait pas judicieux d'en changer maintenant. De toute façons, beaucoup de stellations traditionnelles ne ressemblent pas à des étoiles.

3.3. Le diagramme de stellation

Fig 6a. Dodécaèdre
Fig 6b. Icosaèdre
Fig 6. Diagrammes de Stellation
Il y a deux concepts importants dans la théorie de la stellation : le diagramme de stellation et le diagramme des cellules. Les deux peuvent être affichés dans Stella. Le diagramme de stellation (voir figure 6) est un diagramme à deux dimensions qui se trouve dans le même plan que l'une des faces du polyèdre initial ; chaque intersection avec un des autres plans y est représentée par une droite. Ces droites entourent des parties finies que l'on appelle régions élémentaires [17]. Les parties infinies, i.e. celles non complètement entourées de droites, ne sont  pas considérées, et chaque partie de droite qui n'a pas une région élémentaire finie au moins d'un côté n'est pas représentée. Un diagramme de stellation est nécessaire pour chaque type de face. Par exemple, un seul diagramme est nécessaire pour l'icosaèdre, puisque toutes les faces ont la même relation avec l'ensemble.

Toute stellation peut être définie en réunissant une collection de régions élémentaires pour représenter les parties de cette stellation accessibles de l'extérieur. La figure 6a montre les régions nécessaires pour le grand dodécaèdre (une stellation du dodécaèdre, voir figure 4). La figure 6b montre les régions pour le composé bien connu de cinq tétraèdres (une stellation de l'icosaèdre, voir figure 1). Le gris foncé indique les régions nécessaires, alors que le gris clair indique d'autres régions intérieures au solide. Stella utilise différentes couleurs pour les quatre types de régions suivantes : régions accessibles par-dessus le plan, régions accessibles par-dessous le plan, régions intérieures au modèle, et régions qui sont à l'extérieur du modèle. Cette représentation est plus commode que d'essayer de représenter la configurations en 3D. Chaque région élémentaire a une cellule au-dessus d'elle et une autre en dessous, et représente une face de cette cellule. Stella permet à l'utilisateur d'inclure ou de rejeter la cellule au-dessus ou en dessous d'une région par un clic de souris (tant que la cellule est finie). Le diagramme de stellation peut être vu à plat dans sa propre fenêtre, ou affiché en perspective en 3D, attaché à une des faces du modèle initial ou d'une stellation, ce qui donne à l'utilisateur une bonne idée de ce qu'est le diagramme de stellation.

3.4. Le diagramme des cellules

Fig 7a. Dodécaèdre
Fig 7b. Icosaèdre
Fig 7. Diagramme des cellules
Le diagramme des cellules (voir figure 7) a été d'abord introduit par Messer [17], en utilisant un concept plus ancien de Pawley [21]. En partant du noyau intérieur, les cellules forment des couches, chacune cachant complètement la couche précédente (avec l'exception que certaines cellules de la couche extérieure peuvent être infinies, et ceci est habituellement exclu, et laisser des vides entre les couches inférieures). Une couche peut contenir une ou plusieurs cellules différentes (i.e. types de cellules différents). Le diagramme des cellules est un graphe ou les noeuds représentent des cellules. Les cellules d'une même couche sont représentées à la même hauteur dans le graphe, avec la cellule du noyau intérieur en bas et la couche extérieure en haut. Des lignes joignent deux cellules qui partagent une face. Comme chaque couche recouvre entièrement la précédente, des lignes ne peuvent joindre que des cellules de deux couches consécutives. Comme nous sommes habituellement intéressés par des stellations avec les mêmes axes de symétrie que le polyèdre initial, mais pas nécessairement les mêmes plans de symétrie, nous ignorons les réflexions quand nous regroupons les cellules par types. Il en résulte qu'il peut y avoir dans le diagramme des cellules deux noeuds représentant une paire énantiomorphe de types de cellules (chacune est image de l'autre dans un miroir). De telles paires sont toujours représentées côte à côte, avec une ligne pointillées qui les joint. D'autres auteurs ont représenté ces paires énantiomorphes par un noeud unique dans le diagramme des cellules, mais il nous a semblé plus utile de les séparer. Comme dans le diagramme de stellation, certaines cellules du diagramme des cellules peuvent être remplies pour indiquer leur inclusion dans une stellation ; ainsi le diagramme des cellules est aussi un moyen commode de représenter une stellation particulière (les ombrages de la figure 7 correspondent à la même stellation que dans la figure 6). Encore une fois, les cellules peuvent être inclues ou rejetées d'une stellation par un clic de souris sur une cellule du diagramme des cellules.

3.5. Sélectionner des cellules

Dans toute situation où une cellule peut être sélectionnée pour inclusion dans une stellation, ou rejet d'une stellation, l'interface de Stella donne à l'utilisateur quelques options sur les cellules à prendre en compte. L'utilisateur peut simplement sélectionner ou non une unique cellule, ou sélectionner ou non toutes celles qui la supportent (c'est-à-dire toutes les cellules qui peuvent être atteintes en partant de la cellule choisie et en suivant un chemin descendant dans le diagramme des cellules). Ceci rend la définition de beaucoup de stellations beaucoup plus rapide. L'utilisateur peut aussi choisir de sélectionner ou non toutes les cellules dans la même couche que la cellule choisie.

L'interface a aussi un bouton pour incorporer toutes les cellules inaccessibles. Dans certains cas l'utilisateur peut avoir défini la stellation qu'il veut, mais peut avoir laissé des bulles à l'intérieur, correspondant à des cellules non incluses, créant des parties creuses non accessibles de l'extérieur. Cette fonction inclut automatiquement de telles cellules. Pour un utilisateur envisageant d'imprimer des patrons pour construire un modèle, c'est une bonne idée d'utiliser d'abord cette fonction d'incorporation, sinon des patrons seront aussi imprimés pour les parties cachées inaccessibles à l'intérieur du modèle.

3.6. Critères de stellation

Fig 8. Stellation du petit dodécaèdre tronqué étoilé
Plusieurs chercheurs ont proposé des règles restrictives, à la fois pour réduire le nombre de stellations à des ensembles plus manipulables et pour éviter les cas "inintéressants". Comme alternative à la sélection manuelle des cellules requises pour une stellation, Stella offre aussi, pour chaque modèle, plusieurs ensembles de règles parmi lesquelles l'utilisateur peut faire son choix puis naviguer dans les deux sens dans la liste de toutes les stellations respectant ces règles. Ceci fournit un moyen de parcourir facilement de nombreuses stellations intéressantes sans avoir à sélectionner ou désélectionner manuellement des cellules. Stella offre les cinq ensembles de règles suivants pour choisir des stellations.

3.7. Stellations étendues

En 1989 Fleurent a décrit le concept d'un diagramme de stellation étendu [7]. C'est le diagramme de stellation qu'on obtient avec le modèle composé d'un polyèdre chiral et de son énantiomorphe (image dans un miroir). Stella possède une fonction pour créer un tel composé à partir de n'importe quel polyèdre chiral ; on peut ensuite lui appliquer le processus de stellation.

3.8. Exemples de stellations

Fig 11. Stellation du dodécahémicosaèdre
Un modèle n'a pas besoin d'être convexe pour être "étoilé". Tout le processus de stellation ne nécessite en réalité qu'un ensemble de plans issu des faces d'un polyèdre. Hudson et Kingston [8] ont présenté de nombreuse stellations de polyèdres uniformes non convexes. La figure 8 montre une splendide stellation du petit dodécaèdre tronqué étoilé. La figure 9 montre une stellation très Zen du grand dodécaèdre tronqué étoilé. Et les figures 10 et 11 montrent des stellations du petit (ou grand) dodécahémicosaèdre.

4. Patrons

Les patrons sont les parties d'un modèle accessibles de l'extérieur, séparées les unes des autres là où c'est nécessaire, le long de certaines arêtes, de façon à ce qu'on puisse les disposer à plat (voir figure 12). Ils peuvent alors être imprimés, découpés, pliés et collés pour reconstruire le modèle. Deux étapes sont nécessaires pour générer automatiquement de bons patrons. Il faut d'abord identifier les parties accessibles de l'extérieur ; puis ces parties doivent être combinées, là où c'est possible, pour former des patrons plus grands.

Pour la construction physique d'un modèle, l'auteur utilise et recommande la méthode des doubles onglets, comme l'a décrite Wenninger [28]. Cette méthode implique de laisser des onglets sur toutes les arêtes libres autour de chaque patron. Les pièces sont alors assemblées selon une arête en collant les deux onglets ensemble, ce qui laisse une espèce de nervure à l'intérieur du modèle. Cette méthode produit des modèles de haute qualité, et le maintien des onglets est facilement réalisé avec une paire de pinces à épiler.

4.1. Identification des parties

Le processus de stellation et la construction des patrons sont intimement liés. Comme décrit ci-dessus, dans Stella une stellation d'un modèle consiste seulement en ses parties externes accessibles, et c'est exactement ce dont nous avons besoin pour créer les patrons. Un constructeur de modèles ne veut généralement pas réaliser les parties de faces cachées à l'intérieur du modèle (Ulrich Mikloweit [18] est une notable exception ; il découpe des motifs artistiques dans les faces, ce qui rend les parties intérieures à nouveau visibles). Ainsi les régions élémentaires utilisées pour une stellation donnée sont exactement les parties nécessaires pour les patrons. Ceci montre l'utilité de la stellation, que l'on soit ou non intéressé par les polyèdres étoilés eux-mêmes.

Ceci est parfait pour un modèle découvert via une stellation, mais qu'en est-il pour un polyèdre uniforme, ou l'un des autres de la liste proposée, ou un polyèdre obtenu par facettage (voir partie 5), ou n'importe quel polyèdre obtenu par une technique différente d'une stellation ? D'abord l'utilisateur devrait effectuer une stellation du modèle et établir quelles cellules de stellation sont nécessaires à la reproduction de ce modèle. Souvenez-vous, le modèle initial peut avoir des faces qui se coupent avec des parties cachées à la vue, bien que la version obtenue par stellation soit uniquement composée des parties accessibles de l'extérieur, nécessaires à la génération des patrons. Sélectionner manuellement les cellules appropriées peut être une tâche fastidieuse pour un modèle complexe.

Encore une fois Stella automatise ce processus. Si un modèle est créé (que ce soit par choix dans une liste, ou généré en utilisant des outils tels que le facettage), et si des patrons sont nécessaires, le processus de stellation est d'abord effectué, et l'ensemble approprié de cellules est automatiquement sélectionné pour reproduire le modèle initial. C'est une tâche délicate, nécessitant un algorithme qui se déploie sur l'extérieur du modèle, mémorisant le choix du chemin "vers le haut" et sélectionnant au fur et à mesure toutes les cellules sous la surface. Toutes les cellules inaccessibles sont alors incorporées comme décrit dans la partie 3.5. Notez que pour différentes parties d'une même face, la cellule au-dessus, en dessous, ou les deux peuvent être nécessaires. À la connaissance de l'auteur, aucun autre programme n'est actuellement capable d'effectuer cette tâche.

4.2. Combiner des parties en patrons

Fig 12. Patron du rhombicosidodécaèdre
Une fois les parties nécessaires identifiées, on effectue une tentative pour les assembler, là où c'est possible, en patrons plus grands. En assemblant deux parties qui ont une arête commune en un unique patron, le réalisateur du modèle n'a besoin de compter et plier cette arête qu'une seule fois, au lieu de découper l'arête pour les deux parties, en laissant habituellement un onglet qu'il faut aussi compter et plier pour les deux parties, puis coller les onglets ensemble. Quand de nombreuses parties peuvent être assemblées de cette façon, le réalisateur peut gagner un temps considérable. Stella fait du bon travail dans la plupart des cas : il assemble autant de pièces que possible en un unique patron en utilisant différentes heuristiques pour décider quelles parties devraient être assemblées de préférence à d'autres. Stella garantit, bien évidemment, que les parties ne se superposent jamais dans un patron. Les patrons sont créés symétriquement et restent ordonnés en types de patrons. Une nouvelle partie ne sera ajoutée que si elle peut être ajoutée symétriquement à toutes les parties de ce type. Ceci conduit généralement à de bien plus beaux patrons, et le réalisateur du modèle peut développer une habitude efficace pour compter, découper et plier de nombreuses copies d'un même patron.

Le long de certaines arêtes les parties ne doivent pas être assemblées en un unique patron. Par exemple, l'utilisateur peut choisir de grouper seulement les parties de même couleur en un unique patron, puis de regrouper les patrons de même couleur pour l'impression. Ceci est utile pour imprimer les patrons sur du papier coloré. L'utilisateur peut d'abord imprimer tous les patrons rouges sur du papier rouge, puis imprimer séparément tous les patrons jaunes sur du papier jaune. C'est le mode par défaut dans Stella, car l'auteur estime que c'est le moyen le plus utile pour réaliser un modèle, et dans ce cas Stella ne sait pas assembler des parties de différentes couleurs. Si ce mode est mis hors d'action, des parties colorées différemment peuvent être opportunément assemblées, et l'utilisateur peut choisir une imprimante couleurs pour colorier chaque face, ou laisser les intérieurs vierges s'il n'est pas nécessaire de les colorier, ou s'il veut les décorer.

L'utilisateur peut aussi demander manuellement à Stella de couper certaines arêtes, c'est à dire de ne pas assembler des patrons selon ces arêtes. Stella va alors recréer les patrons, en essayant d'assembler d'autres parties. Ceci est utile si l'utilisateur n'est pas satisfait du patron généré automatiquement, et désire forcer d'autres assemblages, ou désire que les parties soient complètement séparées. Il y a aussi une option pour fixer le nombre maximum de parties qui peuvent être assemblées, afin que les patrons restent maniables. Cette valeur peut être fixée à "1" pour forcer toutes les parties à rester séparées, par exemple si on utilise du carton épais qui ne peut pas être plié proprement.

Il y a une autre situation qui nécessite aussi une manipulation spéciale. Certains modèles ont des arêtes "coïncidentes" où deux parties solides se rencontrent selon seulement une arête. Le plus simple des polyèdres uniformes, le tétrahémihexaèdre, en est un exemple. Comme dans cet exemple, l'arête peut ne pas être une vraie arête du modèle, mais plutôt seulement l'intersection de deux faces qui passent l'une à travers l'autre, mais ceci ne fait pas de différence quand on construit un modèle. La question est de savoir si on rassemble ou non dans des patrons uniques les parties qui ont cette arête en commun. Il faut d'abord remarquer qu'il y a effectivement une ambiguïté concernant les parties qui devraient être assemblées puisque quatre parties partagent cette arête. Mais si des parties doivent être rassemblées, il devrait s'agir des parties qui apparaissent assemblées de l'extérieur du modèle, sinon les deux autres parties ne seraient pas connectées du tout l'une à l'autre et le modèle tomberait en morceaux. L'utilisateur a le choix de la façon de traiter de telles arêtes. Il peut choisir la méthode de la langue dans la gorge comme l'a décrite Wenninger [28] : les doubles onglets d'une partie sont collées ensemble en pointant vers l'extérieur au lieu de l'intérieur, et les onglets correspondant sur l'autre partie sont laissées pointant vers l'intérieur, mais non collées. L'onglet précédent est alors enduit de colle et inséré entre les derniers onglets. Cette méthode nécessite des onglets sur chacune des quatre parties, et donc des parties ne peuvent pas être rassemblées selon cette arête. Une autre option est la méthode du support intérieur, où au moins une des paires de parties ne doit pas être assemblée, de façon à ce qu'un double onglet soit présent. Cet onglet est alors collé par l'intérieur derrière une des partie de l'autre paire, contribuant à la rigidité du modèle. Dans ce cas une des paires de parties peut quand même être assemblée selon cette arête. C'est généralement ce que l'auteur préfère. Finalement l'utilisateur peut choisir la méthode du support interne non requis, où les deux paires de parties peuvent, si possible, être assemblées dans des patrons uniques. Néanmoins cette méthode conduit à un modèle moins solide puisqu'il peut subsister une certaine flexibilité à cette arête.

Enfin, si le modèle est convexe, alors il est fait une tentative d'assembler toutes les parties dans un patron unique.

4.3. Disposition de patrons sur une page

Dans l'interface, les patrons sont affichés un à un, et l'utilisateur peut visualiser tous les différents types de patrons requis pour construire le modèle. L'interface indique pour chaque type combien de patrons sont nécessaires à la construction. Quand on imprime, tous les différents types de patrons nécessaires à la construction du modèle sont évidemment imprimés, et Stella essaie, pour une efficacité optimale, de disposer autant de patrons que possible sur la même page. Pour chaque page il commence avec le patron le plus grand en essayant d'en disposer autant qu'il peut sur la page (jusqu'au nombre nécessaire, bien évidemment), puis il passe au plus grand patron suivant et tente d'utiliser toute la surface encore disponible, et ainsi de suite. Si l'utilisateur a choisi de regrouper les patrons de même couleur, alors seulement des patrons de même couleur apparaîtront sur la même page. Sur la dernière page, Stella essaie aussi de laisser autant de place libre que possible en bas de page, au cas où l'utilisateur voudrait utiliser cet espace pour commencer l'impression des patrons pour un autre modèle.

Stella permet à l'utilisateur de contrôler les quatre marges de la page de façon à ce qu'il puisse utiliser une partie vierge d'une page qui a déjà servie en réintroduisant la page dans l'imprimante (attention à la mettre dans le bon sens !). Il y a aussi une option pour fixer la marge du haut pour la première page, au cas où l'impression doit être poursuivie à partir de la fin de l'impression du modèle précédent. Un bouton bien pratique fixe automatiquement cette marge juste en dessous de la fin de l'impression précédente. Ceci aide à économiser du papier, spécialement dans les cas où seulement quelques petits patrons sont imprimés sur la dernière page, laissant le reste de la page vierge.

L'échelle d'un modèle peut être définie de nombreuse manières. Ceci n'affecte pas l'apparence du modèle dans l'interface, mais seulement la taille des patrons qui sont imprimés, et toutes les mesures numériques données. L'échelle peut être précisée en fixant le rayon d'une stellation ou de son modèle de base, ou la longueur d'une arête, ou la distance entre deux sommets quelconques. Les utilisateurs peuvent aussi voir et fixer la longueur de l'arête la plus petite d'une stellation, ce qui est utile car c'est la plus petite arête qu'il faudra découper et qui sera difficile à manipuler si elle est trop petite. Quand il imprime, Stella vérifiera d'abord si des patrons sont trop grands pour être disposés sur une page, et, si nécessaire, donne la possibilité de réduire l'échelle de façon à ce que tous les patrons soient juste ajustés. L'utilisateur peut cependant préférer forcer de grands patrons à être séparés en patrons plus petits, puis tenter à nouveau l'impression pour voir si les patrons plus petits peuvent maintenant être ajustés.

4.4. Données pour une autre construction

Les angles diédraux et les longueurs des arêtes peuvent être affichés sur un patron, et les angles de faces sont aussi disponibles. Ces données sont utiles pour un utilisateur qui veut dessiner ses propres patrons, par exemple sur un matériau inutilisable avec l'imprimante, ou construire des modèles en bois, où les arêtes des parties doivent être biseautées selon l'angle diédral entre faces.
Fig 13. Pliage en 3D
du patron du rhombicosidodécaèdre

4.5. Pliage des patrons en 3D

Les patrons peuvent être vus se repliant et se dépliant en 3D et en temps réel (voir figure 13). Il y a deux mouvements dans ce processus. Partant du modèle complet, les différents patrons sont d'abord séparés les uns des autres (s'il y a plus d'un patron), puis chaque patron est déplié jusqu'à être plat. L'éparpillement est indispensable pour donner aux patrons la place pour se déplier. Parfois ils passent cependant l'un à travers l'autre - l'effet est toujours impressionnant - et cette caractéristique est une référence utile quand on construit un modèle et qu'on essaie de comprendre comment des pièces s'ajustent.

4.6. Utiliser des facettes comme supports

Une facette d'un polyèdre donné - nous utiliserons ce terme ici - est un polygone dont les sommets sont aussi des sommets de ce polyèdre. Les facettes, qui sont entièrement contenues dans le modèle, peuvent être utiles comme structures intérieures aidant à la bonne tenue de modèles qui, sans elles, se déformeraient. Elles sont collées à l'intérieur durant la construction, généralement en utilisant les doubles onglets déjà collés d'autres parties extérieures. Stella offre un mode pour créer des facettes qui peuvent alors être imprimées avec les patrons. L'utilisateur clique à tour de rôle sur chaque sommet jusqu'à ce que la facette soit complète (voir figure 14), puis l'accepte ou la rejette. Après avoir réalisé à peu près la moitié du modèle, le constructeur peut habituellement se faire une idée de la robustesse du modèle, et cela est un bon moment pour envisager l'insertion de quelques-unes de ces facettes pour rigidifier davantage le modèle.

5. Facettage

Fig 14. Dodécaèdre rhombique avec une facette définie par l'utilisateur
Le facettage est un puissant outil dont on parle peu dans la littérature spécialisée. C'est le processus dual de la stellation, brièvement discuté dans "Regular Polytopes" [3] de Coxeter. Inchbald [9] étudie de façon plus approfondie cette relation puisqu'il rapproche les stellations de l'icosaèdre et les facettages duals du dodécaèdre. De la même façon que la stellation est définie comme deux modèles avec des faces dans les mêmes plans, le facettage peut être défini comme deux modèles avec les mêmes sommets. Par exemple, le petit dodécaèdre étoilé (figure 5b) est un facettage de l'icosaèdre, et de même le grand dodécaèdre (figure 4) et le grand icosaèdre. Le grand dodécaèdre étoilé (figure 5d) est toutefois une version facettée du dodécaèdre.

Wenninger décrit une relation intéressante dans son livre "Dual Models" [29], où il dit :

la face du dual de tout polyèdre uniforme non convexe est incluse dans le motif de stellation du dual de son noyau convexe.

L'enveloppe convexe d'un modèle est un cas particulier de facettage de ce modèle, dont le résultat est convexe. Normalement nous devrions considérer les choses dans l'autre sens, c'est-à-dire que le modèle non convexe est un facettage du modèle convexe, mais cette définition générale, qui correspond à notre définition générale de la stellation, s'applique bien en pratique à de telles situations. Il faudrait cependant noter que l'enveloppe convexe d'un polygone quelconque n'est pas toujours un vrai facettage car certains sommets intérieurs sont perdus, ce qui en fait un facettage partiel. Pour généraliser l'affirmation de Wenninger, si nous considérons un facettage d'un polyèdre et créons son dual, alors une stellation de ce nouveau polyèdre sera le dual du polyèdre initial. Choisir l'enveloppe convexe est simplement un cas particulier de facettage, et son dual sera un cas particulier de stellation, c'est-à-dire la cellule du noyau central.

Réciproquement, si nous prenons une stellation d'un polyèdre et créons son dual, alors le polyèdre initial est un facettage de ce nouveau modèle. De même, nous pourrions à nouveau choisir le cas spécial de l'unique stellation convexe, c'est-à-dire la cellule du noyau central, qui nous donnera un dual convexe à facetter. Il est encourageant de constater que ceci met en évidence la dualité entre les processus de stellation et de facettage, et démontre que chacun doit donc être aussi puissant que l'autre.

Fig 15. Composé
de quinze cuboïdes
Nous avons expliqué précédemment comment on pouvait réaliser, dans Stella, des facettes pour rendre le modèle physique plus robuste (voir partie 4.6). Toutefois l'utilisateur peut aussi choisir de créer un nouveau polyèdre facetté à partir des facettes créées. Dans ce cas les facettes sont répétées en utilisant le groupe de symétrie pour produire toutes les occurrences de chacune d'elles. C'est aux utilisateurs de s'assurer qu'ils ont créé un ensemble de facettes qui conduira à un polyèdre valide où deux faces se rencontrent à chaque sommet ; ainsi ceci est un peu une option avancée nécessitant un certain savoir-faire pour être bien utilisée, mais elle est aussi très puissante.

Quelques exemples vont servir ici. La figure 15 montre un dodécaèdre tronqué facetté. C'est aussi le composé de quinze cuboïdes (prismes rectangulaires). Ce modèle possède trois différents types de faces, donc il faut d'abord définir trois facettes du dodécaèdre tronqué. Stella peut alors les répéter en utilisant le groupe de symétrie pour créer le modèle complet. Comme pour tout modèle, il peut être étoilé et des patrons peuvent être imprimés.

Voici un autre exemple. Il n'y a que quatre isoèdres rectangles (polyèdre dont toutes les faces sont rectangles et partagent la même relation au modèle dans son ensemble). Tous sont des facettages de duals de polyèdres uniformes, et peuvent donc être créés en utilisant Stella. La figure 16 montre un tel modèle, un facettage du dodécaèdre rhombique. Comme il n'y a qu'un type de face, il est seulement nécessaire de cliquer sur les quatre sommets appropriés du dodécaèdre pour créer une facette (la facette requise est celle de la figure 14). Stella peut alors construire le modèle en entier.

Les utilisateurs peuvent étoiler des modèles facettés, et facetter des modèles étoilés, ce qui conduit à un ensemble inimaginable de polyèdres. Ci-dessus nous nous sommes référé à un des quatre isoèdres rectangles. Il se trouve que deux autres (un facettage du triacontaèdre rhombique et un facettage du grand triacontaèdre rhombique) ont le même motif de stellation. Il se trouve aussi que ce motif de stellation est le même que celui du composé de cinq dodécaèdres décrit par Cundy et Wenninger [5] (voir figure 17) et donc du composé de cinq grands dodécaèdres étoilés qu'ils décrivent aussi, et des composés de cinq petits dodécaèdres étoilés et cinq grands dodécaèdres présentés antérieurement par Smith [24] et montrés en [19]. Ainsi ces modèles peuvent tous être créés, de même que les duals des composés de cinq icosaèdres et cinq grands icosaèdres. Remerciements à Piotr Pawlikowski qui a récemment découvert cette relation entre l'isoèdre rectangulaire et le composé de cinq dodécaèdres. Cela n'a pas encore fait l'objet d'une publication ; elle est mentionnée ici avec son aimable autorisation.

Fig 16. Un des quatre isoèdres rectangulaires
Il a été fait référence ci-dessus au fait que dans Stella les stellations consistent seulement en les parties accessibles de l'extérieur, néanmoins le facettage peut être utilisé en spécifiant le vrai modèle requis. Une bonne raison de vouloir procéder de la sorte est d'accéder à son propre dual. Bien que les modèles étoilés apparaissent identiques, leurs duals ne le seraient probablement pas. Dans l'exemple précédent, le composé de cinq dodécaèdres est obtenu par stellation d'un autre modèle, donc le modèle n'est constitué que des parties accessibles de l'extérieur au lieu de l'intersection de pentagones réguliers, comme cela devrait être le cas. Mais le facettage peut y remédier. Il suffit que l'utilisateur clique sur les cinq sommets d'un des pentagones, et demande à Stella de créer un polyèdre facetté. Notez que tous les pentagones de ce modèle sont du même type (ils ont chacun la même relation au modèle dans son ensemble), donc il suffit de créer seulement une facette. Maintenant nous avons le vrai modèle, et nous pouvons voir son dual, le composé de cinq icosaèdres (qui peut évidemment être étoilé pour créer un composé de cinq exemplaires de n'importe quelle stellation de l'icosaèdre !).

Un autre ensemble de modèles fascinants qui peuvent être étudiés en utilisant une combinaison de stellations et de facettages sont les isoèdres isogonaux. Ce sont des polyèdres avec seulement un type de face et seulement un type de sommet. Évidemment les neufs polyèdres réguliers (de Platon et de Kepler-Poinsot) entrent dans cette catégorie, et il y a quelques tétraèdres déformés qui y entrent aussi, mais il y a aussi quelques autres modèles étranges. Trois sont des stellations de l'icosaèdre, et deux sont des stellations du triacontaèdre rhombique, incluant la dernière stellation de chacun d'eux. Ceci conduit à cinq nouveaux modèles. Le dual de chaque modèle de cet ensemble doit aussi être un isoèdre isogonal, puisque les propriétés des sommets et des faces sont échangées, ce qui implique qu'il ne peut encore y avoir qu'un type de face et un type de sommet. Ceci conduit encore à neuf nouveaux modèles puisque l'une des stellations de l'icosaèdre est auto duale. Comme exemple, la stellation finale de l'icosaèdre peut être vue avec des ennéagrammes irréguliers (c'est-à-dire des étoiles à neuf branches) comme faces. Ils se rencontrent par trois en chaque sommet. Dans Stella on peut utiliser la stellation pour trouver le modèle, puis le facettage peut être utilisé pour spécifier exactement comment la face doit être construite (c'est-à-dire comme un ennéagramme irrégulier). À partir de là on peut aussi trouver le modèle dual. Consultez le récent travail de Klitzing [12] avec des modèles facettés. Il appelle ses modèles arête-facettages, car tous les modèles facettés d'une série partagent non seulement les mêmes sommets, mais aussi les mêmes arêtes.

Fig 17. Composé
de cinq dodécaèdres
Il restreint aussi les facettes à des polygones réguliers, et étend la restriction au fait que tous les sommets doivent être utilisés dans un modèle facetté. Stella devrait être capable de créer tous ces modèles.

Il y a pour le moment une limitation à la création de facettes qu'il convient de signaler, à savoir le fait que le même sommet ne peut être désigné deux fois pour une même facette. Ce n'est pas une situation usuelle, mais elle mérite d'être mentionnée. Certains modèles où plus de deux faces se rencontrent en une arête peuvent aussi avoir des problèmes. Ce ne sont pas de vrais polyèdres, mais certains sont néanmoins intéressants. La plupart de ces modèles se comportent cependant bien, par exemple le nouveau modèle uniforme de Skilling [22], mais certains non.

6. Augmentation, excavation et perforation

L'aptitude d'augmenter un polyèdre avec un autre polyèdre est une autre caractéristique de Stella. Johnson [10] a utilisé le terme augmentation quand deux polyèdres sont assemblés selon une paire de faces de même forme. Par exemple, le modèle J58 (notation de Johnson), le dodécaèdre augmenté, est un dodécaèdre avec une pyramide pentagonale ajoutée sur une de ses faces. D'autres modèles sont augmentés avec une coupole au lieu d'une pyramide, comme J66, le cube tronqué augmenté, qui est un cube tronqué avec une coupole carrée (J4) sur une de ses faces.

Cette idée peut évidemment être étendue à des polyèdres plus compliqués que juste des pyramides ou des coupoles. Par exemple l'utilisateur peut augmenter un dodécaèdre avec un autre dodécaèdre de même taille. Stella permet d'augmenter n'importe quel polyèdre avec n'importe quel autre polyèdre, à condition qu'ils aient une face de même forme. Les faces correspondantes sont supprimées, et les faces restantes assemblées pour former un vrai polyèdre où exactement deux faces se rencontrent en chaque arête. L'utilisateur commence par sélectionner la face qu'il désire augmenter, puis il a la possibilité d'augmenter toutes les faces de même type ou seulement la face sélectionnée. Il peut aussi choisir d'augmenter en utilisant une pyramide ou une coupole (ce qui requiert d'avoir sélectionné une face régulière), ou un prisme, ou à partir de la mémoire. Quatre mémoires sont disponibles. Elles fonctionnent comme les mémoires d'une calculatrice, mais pour stocker un polyèdre au lieu d'un nombre. Le polyèdre courant, son dual, ou la stellation habituelle de l'un d'entre eux peuvent être mis dans l'une des quatre mémoires (excepté les duals infinis et les stellations avec des faces trouées). Ils sont préservés jusqu'à ce que l'utilisateur quitte le programme, ou stocke un autre modèle dans la même case mémoire, et peuvent être récupérés à tout moment. L'utilisateur peut choisir d'augmenter en utilisant le modèle d'une quelconque des quatre mémoires, ce qui permet de coller face contre face deux polyèdres quelconques.

Fig 18. Cube avec  deux excavations pyramidales qui s'interpénètrent
Une autre option est disponible : l'utilisateur peut choisir soit d'augmenter, soit d'excaver. L'excavation consiste à enlever le second polyèdre du premier, au lieu de l'ajouter. Par exemple un cube avec une pyramide carrée excavée laisserait une fossette pyramidale dans une des faces du cube. Un autre terme, perforation, est utilisé si l'excavation laisse un trou à travers le polyèdre, ce qui augmente son genre. Stewart [25] a beaucoup travaillé sur les excavations et les perforations dans son fascinant ouvrage publié à compte d'auteur. Il a étendu le travail de Johnson [10] de convexe à non convexe, avec quelques jolis résultats. Néanmoins, les images dessinées à la main peuvent laisser le lecteur sur sa faim, sauf s'il tente de construire quelques-uns des modèles par lui-même. Comme nous l'avons indiqué précédemment, tous les solides de Johnson et de nombreux toroïdes de Stewart sont déjà intégrés dans Stella, et, en utilisant l'augmentation et l'excavation, la plupart des autres toroïdes de Stewart, et même de nouveaux, non présentés dans le livre, peuvent être construits.

Une remarque à propos de la façon dont fonctionne la perforation s'impose ici pour éviter toute confusion. Ce n'est pas comme creuser un bloc de bois. Prenez un cube et faites une excavation sur deux faces opposées en utilisant une pyramide (J1). La hauteur de la pyramide est supérieure à la moitié de l'arête du cube, donc les deux pointes s'interpénètrent (voir figure 18). Néanmoins ceci ne crée pas un trou à travers le modèle comme le ferait un logiciel utilisant la géométrie constructive en 3D. Le géomètre ne tient généralement pas compte des faces qui se traversent l'une l'autre en restant indemnes comme le prouvent les anciens polyèdres de Kepler-Poinsot. Pourtant le géomètre ne veut habituellement pas d'un modèle avec des faces qui coïncident, donc toutes les faces du polyèdre initial qui coïncident avec des faces quelconques du modèle utilisé pour l'augmentation sont supprimées par paires, et les arêtes concernées réassemblées de manière à ce que seulement deux faces se rencontrent en chaque arête. Ceci inclut évidemment la face initiale où l'augmentation a été réalisée, mais aussi d'autres faces.

Fig 19. Dodécaèdre tronqué percé
Un effet secondaire commode de cette méthodologie est que si l'utilisateur veut annuler la dernière augmentation, il peut le faire en excavant à nouveau le même modèle. Toutes les nouvelles faces créées par l'augmentation vont coïncider avec celles issues de l'excavation, et seront donc supprimées, laissant le modèle initial inchangé.

Juste pour voir où cela mène, jetez un coup d'oeil sur la figure 19 pour un exemple de l'un des plus étourdissants toroïdes du livre de Stewart. Ce modèle est intégré dans Stella, mais si nous voulons le créer à partir des principes de base, pour ainsi dire, nous pourrions le faire de la manière suivante, en utilisant d'autres modèles intégrés. Mettez la coupole pentagonale en mémoire 1, l'antiprisme pentagonal en mémoire 2, et le dodécaèdre en mémoire 3. Maintenant chargez le dodécaèdre tronqué et sélectionnez une des faces décagonales. Excavez la mémoire 1 de toutes ces faces, puis sélectionnez la face pentagonale à la base de l'une des excavations en forme de coupole. Maintenant, excavez la mémoire 2 de toutes ces faces, et sélectionnez une des nouvelles faces pentagonales. Et finalement, excavez la mémoire 3 de ces faces. Le résultat serait le modèle présenté.

Il faudrait cependant attirer l'attention sur le fait que la présence de seulement quatre mémoires ne limite pas le nombre de différentes excavations qui peuvent être réalisées. Le modèle courant peut être mis en mémoire à tout moment, et différents modèles peuvent être placés dans les autres mémoires. Le modèle initial peut alors être extrait de la mémoire et d'autres excavations peuvent être réalisées en utilisant les mémoires mises à jour.

S'il y a une ambiguïté sur la face du modèle en mémoire qui devrait être connectée à la face sélectionnée du modèle à l'écran, comme avec la coupole carrée qui a deux types de faces carrées, l'utilisateur doit d'abord sélectionner la face appropriée avant de mettre le modèle en mémoire. Concernant l'échelle, le modèle en mémoire sera agrandi ou rapetissé, si nécessaire, de manière à ce que les faces coïncident ; ainsi l'utilisateur n'a pas à s'en inquiéter.

De nombreux nouveaux toroïdes de Stewart peuvent maintenant être découverts avec un brin d'ingéniosité (le lecteur est renvoyé au livre de Stewart [25] pour les définitions des termes et symboles utilisés dans ce paragraphe). En utilisant la terminologie de Stewart, un intéressant nouveau modèle est K5 / T5 (R5) gQ5. C'est probablement le plus "caverneux" des toroïdes de Stewart qui satisfasse à toutes ses règles. Ce qui signifie, grossièrement, qu'il possède le plus grand trou. Ce modèle peut aussi être utilisé comme base pour un modèle à quatre étages, avec moins de faces que l'exemple de Stewart, simplement en perçant davantage le dodécaèdre tronqué intérieur. Ces modèles ne sont pas intégrés, mais sont inclus dans une bibliothèque additionnelle de modèles qui est fournie avec Stella.

Fig 20. Toroïde n'utilisant que des heptagones
 et des carrés
Une autre question étudiée très tôt par Stewart dans son livre est de savoir si, pour tout n, un modèle de genre supérieur à zéro peut être construit en n'utilisant que des n-gons et un autre type de polygone. Des faces avec une arête en commun ne doivent pas être coplanaires. Il montre comment ceci est possible pour toute valeur paire de n, mais on peut démontrer maintenant que toute valeur impaire est aussi possible. Pour un exemple en utilisant n = 7, voir la figure 20. Ce modèle n'est constitué que d'heptagones et de carrés, et a été construit en augmentant ensemble des prismes heptagonaux et des cubes. La même technique peut être utilisée pour toute valeur impaire de n > 3. Le cas n = 3 est résolu explicitement dans le livre de Stewart, ainsi le problème peut évidemment être résolu pour toute valeur n > 2.

L'approche de Stewart consistant à étendre l'idée sous-jacente aux polyèdres de Johnson du convexe au non convexe n'était seulement qu'une approche. L'idée principale que les faces doivent être régulières peut probablement être retenue pour une quelconque extension, mais derrière cela il y a quelques directions différentes à prendre. Stewart a aussi retenu l'idée que les faces ne doivent pas se couper, et a exploré plusieurs autres règles. Une autre approche consiste à autoriser les faces à se couper, mais en ajoutant d'autres restrictions pour limiter l'ensemble. Une réflexion : il serait agréable de trouver plus de modèles avec l'attrait esthétique des polyèdres uniformes. Avec ceci en tête, l'auteur a considéré les restrictions additionnelles suivantes :

Fig 21. Grand cubicuboctaèdre augmenté
Contrairement à ce qui se passe avec les solides de Johnson, ces règles autorisent quelques modèles avec des symétries octaédrales et icosaédrales. Une énumération complète serait difficile, mais quatre nouveaux modèles ont été trouvés, basés sur l'augmentation de polyèdres uniformes, un octaédral et trois icosaédraux : Nous pensons que ces modèles sont nouveaux, et n'ont pas été publiés précédemment.

7. Symétrie

Un polyèdre peut avoir des symétries axiales et planes. Un axe de symétrie est une droite autour de laquelle le modèle peut être tourné (d'un angle inférieur à 360 degrés) de manière à ce qu'il se retrouve dans sa position initiale. Ainsi un observateur ne serait pas capable de dire s'il a été déplacé. Si le minimum d'un tel angle est 360/N degrés, alors nous appelons ceci un axe de symétrie d'ordre N.

De même, un plan de symétrie est un plan dans lequel le modèle peut se réfléchir, toujours en le laissant indiscernable de sa position initiale.

La collection de toutes ces symétries d'un modèle est appelée son groupe de symétrie. Pour un ouvrage complet pour débutants sur les symétries et les groupes de symétrie, voir Cromwell [4].

7.1. Trouver et montrer les symétries

Fig 22. Cuboctaèdre et ses symétries
Quand un nouveau modèle est créé, soit par sélection dans la liste intégrée, ou par facettage, augmentations, ou n'importe quelle autre méthode, il est automatiquement analysé pour trouver ses symétries, axiales et planes. Les noms du groupe des symétries axiales et des symétries planes sont affichés côte à côte en haut de la fenêtre. L'algorithme est basé sur l'algorithme de Waltzman [26], mais de façon à ce que le groupe de symétrie correct soit aussi trouvé pour des cas délicats comme les composés, ou des modèles avec des trous le long de certains axes de symétrie. Ceci est réalisé en cherchant d'abord le noyau convexe et ses symétries, qui sont ensuite testées pour le polyèdre initial.

Quand on utilise le coloriage par défaut les faces de même type sont coloriées avec la même couleur en tenant compte des symétries du modèle, et des faces de types différents sont coloriées avec des couleurs différentes.

L'interface permet à l'utilisateur d'afficher les symétries axiales ou planes, ou les deux, à l'écran (voir figure 22). Les axes de symétrie sont affichés, avec, à chaque extrémité, un petit disque avec des rayons, le nombre de rayons indiquant l'ordre de la symétrie axiale représentée. Par exemple cinq rayons sont affichés pour une symétrie d'ordre cinq. Des axes d'ordres différents sont affichés avec des couleurs différentes.

Les plans de réflexion sont représentés par des grands cercles autour du modèle, dans les plans correspondants. La symétrie centrale, moins commune, et les rotation-réflexions ne sont pas représentées graphiquement, mais leur présence est cependant indiquée en haut de l'écran.

Les symétries axiales et planes peuvent aussi être affichées sur le diagramme de stellation. Dans ce cas les axes de symétries sont représentés par des points là où un axe perce le plan de la face. Les points sont affichés avec les mêmes couleurs que les axes dans la vue en 3D pour faciliter les renvois. Dans le cas de modèles avec des faces hémisphériques, c'est-à-dire des faces qui passent par le centre du modèle, seuls les axes contenus dans ce plan sont affichés en lignes pointillées avec la couleur appropriée.

Les symétries planes sont représentées dans le diagramme de stellation par des lignes pointillées représentant l'intersection du plan de la face avec le plan de cette symétrie. Elles sont affichées avec la même couleur que les grands cercles dans la vue en 3D, à nouveau pour faciliter les associations.

7.2. Sous-groupes de symétrie

Les noms des groupes des rotations et des symétries planes sont effectivement affichés dans des listes déroulantes, chacune contenant les noms de tous les sous-groupes de symétrie. L'utilisateur peut choisir un sous-groupe de symétrie dans ces listes au lieu d'utiliser toutes les symétries. Les faces sont alors recolorées en conséquence, et, si des symétries sont affichées, elles sont aussi mises à jour. Par exemple si nous considérons pour l'instant seulement les symétries axiales, la symétrie diédrale d'ordre 4, telle que celle de l'antiprisme carré, est une sous symétrie du groupe de symétrie octaédral tout entier. Quand un cube est chargé dans le programme, toutes les faces seront de même couleur puisqu'elles sont toutes de même type, et le programme indiquera le groupe de symétrie octaédral pour le modèle. Néanmoins, si l'utilisateur sélectionne alors le sous-groupe diédral d'ordre 4, alors deux couleurs seront utilisées : une pour les faces de dessus et de dessous qui sont sur l'axe d'ordre 4, et une autre pour les quatre faces restantes qui sont toutes sur des axes d'ordre 2.

On peut aussi choisir un sous-groupe de symétries planes. Par exemple, commencez avec un modèle de symétrie octaédrale et choisissez le sous-groupe de symétrie tétraédral. Maintenant la liste des types de réflexion disponibles sera diagonal (comme celui que possède le tétraèdre régulier), horizontal (trois plans de réflexion orthogonaux), ou chiral (pas de symétries planes).

Fig 23. Stellation tétraédrale du dodécaèdre
Une fois un sous-groupe de symétrie sélectionné, il affecte la façon dont stellation, facettage, et augmentation/excavation vont être effectués. On peut maintenant créer des stellations sous symétriques. Ounsted [20] donnait un exemple de stellation sous symétrique du dodécaèdre qui n'a qu'une symétrie tétraédrale (voir figure 23). En fait, le dodécaèdre a beaucoup d'intéressantes stellations tétraédrales. On a aussi découvert d'attirantes stellations tétraédrales de l'icosaèdre et du triacontaèdre rhombique.

Des facettages sous symétriques sont aussi disponibles. Ici, quand on crée un modèle facetté, chaque facette créée par l'utilisateur ne sera répétée que selon le sous-groupe de symétrie. La plupart des modèles facettés de Klitzing [12] sont sous symétriques, ainsi nous avons ici un exemple de l'utilité des facettages sous symétriques.

Le choix d'une sous symétrie a aussi un effet quand on choisit d'augmenter toutes les faces d'un type. À cause du groupe de sous symétrie il y aura maintenant moins de faces du même type que la face sélectionnée, donc moins d'augmentations seront ajoutées. Encore une fois, des modèles plus intéressants peuvent être réalisés grâce à cette caractéristique, tels qu'un modèle icosaédral perforé tétraédralement. Parfois cela est en fait requis pour éviter des intersections entre les modèles utilisés pour les excavations qui se produiraient avec une symétrie complète.

8. Morphing dual

Une autre chose que Stella nous permet de faire est de voir le morphing d'un polyèdre en son dual, et inversement, en temps réel. On peut choisir parmi cinq techniques différentes pour réaliser cette tâche. L'utilisateur peut mouvoir la souris en avant et en arrière pour contrôler le morphing. Si on relâche le bouton de la souris pendant le mouvement, alors le morphing continue tout seul à la vitesse actuelle. Il est à noter que le bon fonctionnement de ces algorithmes n'est pas garanti pour tous les modèles. Ils fonctionnent bien pour la plupart des polyèdres uniformes (excepté ceux avec des duals infinis), mais il y a des problèmes avec quelques autre modèles. Nous espérons rectifier cela bientôt. Les cinq techniques sont décrites ci-dessous.
  1. Morphing par la taille
    Fig 24. Morphing de duals par la taille
    Ceci est la technique la plus simple. On passe d'un modèle à son dual en rétrécissant le modèle et en agrandissant le dual de zéro jusqu'à ce que le modèle initial ait disparu et qu'il ne reste que le modèle dual dans sa dimension normale. Pendant le changement de taille l'utilisateur verra les sommets du dual pousser à travers les faces du modèle initial, et finalement les sommets du modèle initial vont s'enfoncer dans le dual et disparaître. Cette technique est assez simple pour fonctionner avec tous les modèles.

    Chaque technique a sa technique duale. Si l'on prend le dual de chaque modèle intermédiaire le long du chemin d'un polyèdre à son dual, nous aurons une autre séquence de morphing du dual vers le modèle initial. Si cette séquence est jouée dans l'autre sens, elle ira à nouveau du polyèdre initial vers son dual, et représente donc une autre technique possible. La première technique est néanmoins sa propre duale.

  2. Morphing par troncature
    Fig 25. Morphing de duals par troncature
    De chaque bout de la transition, le modèle est lentement tronqué vers les milieux des arêtes. Considérez par exemple un cube. D'abord les pointes de ses sommets sont tronquées, puis davantage, en passant par le familier cube tronqué - un archimédien -, jusqu'à ce que les troncatures se rencontrent à mi-chemin des arêtes du cube initial. Ici nous avons le cuboctaèdre. Si nous avions commencé par le dual du cube, l'octaèdre, de façon similaire, en passant par l'octaèdre tronqué - un autre archimédien -, nous aurions encore atteint le cuboctaèdre. Cette seconde partie est jouée à l'envers pour aller du cuboctaèdre vers l'octaèdre. On achève ainsi la transition du cube à l'octaèdre. Il peut être surprenant de découvrir que cette technique fonctionne bien avec n'importe quel polyèdre uniforme, bien que des faces se coupent, et évidemment elle fonctionne très bien avec la plupart des toroïdes de Stewart. Il est bon de s'en souvenir.

    Il faut être un peu plus précis pour définir exactement ce qui se passe avec des modèles tels que les solides de Johnson. Voici une meilleure façon d'aborder cette transition : commencez avec le polyèdre initial et imaginez que son dual est déjà là, mais invisible, et à une échelle telle qu'il l'englobe. Maintenant quand nous avançons vers le milieu, réduisez le dual à sa taille normale. Pendant qu'il se réduit, les sommets du modèle initial sont tronqués par les faces correspondantes. À mi-chemin le dual arrête de se réduire et le modèle initial commence à grossir jusqu'à ce que toutes ses faces disparaissent derrière les sommets duals correspondants.

  3. Morphing par augmentation
    Fig 26. Morphing de duals par augmentation
    Ceci est la transition duale de la précédente. Au lieu de tronquer les sommets, on augmente les faces avec des pyramides. La technique précédente introduit une nouvelle face pour chaque sommet, et celle-ci introduit un nouveau sommet pour chaque face. Considérez un cube. Commencez par construire des pyramides très basses sur chaque face, puis faites-les grandir lentement en hauteur, en passant par le tétrakis-hexaèdre (dual de l'octaèdre tronqué) et en continuantjusqu'à ce que les triangles de pyramides adjacentes deviennent coplanaires, ce qui nous donne le dodécaèdre rhombique (dual du cuboctaèdre). Maintenant considérez que vous partez du dual du cube, l'octaèdre. Construisez des pyramides triangulaires basses sur chaque face et augmentez leur hauteur lentement, en passant par le triakis-octaèdre (dual du cube tronqué) et en continuant à nouveau jusqu'au dodécaèdre rhombique. Jouez cette dernière partie à l'envers pour aller du dodécaèdre rhombique à l'octaèdre, ce qui achève la transition du cube à l'octaèdre. Notez que tous les modèles que nous avons rencontrés le long du chemin étaient les duals de ceux que nous avons rencontrés dans la technique précédente, mais dans l'ordre inverse.

    La technique ne fonctionne pas parfaitement avec quelques modèles non uniformes. Avec quelques solides de Johnson par exemple, le sommet de la pyramide, quand elle est au plus bas, commence par être à l'extérieur de la face, ce qui provoque des problèmes. Nous prévoyons de généraliser davantage notre algorithme pour tenir compte de ces cas.

  4. Morphing avec des rectangles
    Fig 27. Morphing de duals avec des rectangles

    Cette technique a été décrite par Lalvani [13], qui lui a dédié un livre entier ! Elle est simple, et semble bien fonctionner avec tous les modèles, y inclus les uniformes, les solides de Johnson, et même les toroïdes de Stewart ! Les faces du modèle initial sont rétrécies, et les faces du dual commencent à apparaître aux sommets du polyèdre initial. On utilise alors des rectangles pour remplir les vides entre les deux. Voici un exemple, celui du cube. Les sommets sont tronqués et les arêtes sont biseautées en laissant un petit triangle à la place de chaque sommet, et un long et fin rectangle à la place de chaque arête. En continuant à couper plus profondément nous obtenons le rhombicuboctaèdre, qui se trouve à mi-chemin. Notez que les faces initiales se rétrécissent et les faces du dual grandissent, mais jamais l'une d'elle ne change d'orientation. Les rectangles intermédiaires commencent par être longs et fins, deviennent plus "gras" jusqu'à devenir des carrés, puis continuent à se déformer jusqu'à devenir longs et fins dans l'autre sens.

  5. Morphing avec des quadrilatères basculants
    Fig 28. Morphing de duals avec des quadrilatères basculants
    Finalement, nous avons la technique duale de la précédente. Pendant la transition précédente, tous les sommets sont d'ordre quatre, avec une face du modèle initial, une face du modèle dual, et deux rectangles autour d'eux. Donc, pendant cette technique duale, toutes les faces vont être des quadrilatères. En partant d'un cube, notez que les milieux des arêtes coïncident avec les milieux des arêtes de l'octaèdre dual. Prenez deux arêtes consécutives de l'une des faces du cube et joignez leurs milieux au centre de la face et à leur sommet commun pour former un quadrilatère. En maintenant les milieux des arêtes fixes, le quadrilatère peut être incliné (et déformé, mais maintenu plan) de manière à ce que le point au centre de la face s'écarte vers le sommet dual correspondant, et que le point au sommet se rapproche du centre de la face duale correspondante. Quand ils atteignent ces points, les quadrilatères issus de l'un des sommets initiaux deviennent coplanaires et forment la face duale. Notez qu'à mi-chemin nous trouvons l'icositétraèdre strombique, dual du modèle rencontré à mi-chemin dans la technique précédente, le rhombicuboctaèdre.

    Dans le cas général, ce ne sont pas seulement les milieux des arêtes qui nous intéressent, mais plutôt le point obtenu en traçant une perpendiculaire à l'arête passant par le centre du modèle. Notez aussi que, pour des cas non uniformes, les points des arêtes des duals ne coïncident pas, mais une droite passant par une paire de points correspondants devrait passer par le centre du modèle. Dans ce cas ces points doivent aussi être interpolés, au lieu d'être fixés.

9. Autres caractéristiques

Quelques autres caractéristiques méritent d'être mentionnées ici.
Fig 29. Pseudo grand rhombicuboctaèdre

10. Conclusion

Nous avons présenté un programme informatique appelé Great Stella, qui permet à l'utilisateur de naviguer à son goût parmi les trillions de fascinants polyèdres disponibles. Un large éventail d'outils, incluant la stellation, le facettage, l'augmentation, l'excavation et la perforation assurent l'utilisateur qu'il ne manquera jamais d'intéressantes directions d'exploration. De nombreux et intrigants nouveaux polyèdres ont déjà été découverts, et de nombreux anciens favoris redécouverts.

Pour chaque modèle des patrons peuvent être imprimés, avec des parties regroupées par couleur si nécessaire, pour une impression directe sur papier coloré. Ce qui était traditionnellement un passe-temps exigeant un niveau élevé en mathématiques est maintenant à la portée de tout le monde. Les modèles peuvent être construits plus rapidement, sans avoir à effectuer manuellement les calculs initiaux. Conception et dessin des patrons sont du passé puisque ceci est aussi automatisé. Les réalisateurs de modèles peuvent décider eux-mêmes jusqu'où ils désirent s'engager dans la théorie sous-jacente. La théorie géométrique est cependant présente pour ceux qui sont intéressés, mais d'autres peuvent maintenant réaliser des polyèdres uniquement pour leur attrait esthétique.

Le programme est disponible sur le site web de l'auteur [27].

Remerciements

L'auteur aimerait remercier Fiona Clarke, Peter Messer, Guy Inchbald, et Ulrich Mikloweit pour leurs utiles commentaires concernant cet article.

Références

  1. Coxeter, H. S. M., Du Val, P., Flather, H. T., J.F. Petrie, "The Fifty-Nine Icosahedra", University of Toronto Press, 1938.
  2. Coxeter, H. S. M., Longuet-Higgins, M. S., Miller, J. C. P. "Uniform Polyhedra", Philosophical Transactions of the Royal Society of London Series A, Vol. 246, pp. 401-450, 1954.
  3. Coxeter, H. S. M. "Regular Polytopes", Macmillan, 1963. (Dover reprint, 1973).
  4. Cromwell, P. R. "Polyhedra", Cambridge, 1997.
  5. Cundy, H. M., Wenninger, M. J. "A compound of five dodecahedra", Mathematical Gazette, Vol. 60, pp. 216-218, 1976.
  6. Ede, J. D. "Rhombic Triacontahedra", Mathematical Gazette, Vol. 42, pp. 98-100, 1958.
  7. Fleurent, G. M. "Symmetry and Polyhedral Stellation Ia & Ib", Computers and Mathematics with Applications, Vol. 17, No. 1-3, pp. 167-193, 1989.
  8. Hudson, J. L., Kingston, J. G. "Stellating Polyhedra", The Mathematical Intelligencer, Vol. 10, No. 3, pp. 50-61, 1988.
  9. Inchbald, G. "Towards stellating the icosahedron and faceting the dodecahedron", Symmetry: Culture and Science, ailleurs dans ce numéro, 2002.
  10. Johnson, N. W. "Convex Solids with Regular Faces", Canadian Journal of Mathematics, Vol. 18, 1966, pp. 169-200.
  11. Jones, R. H. "The pseudo-great rhombicuboctahedron", Mathematical Scientist, Vol. 19, No. 1, Juin, 1994, pp. 60-63.
  12. Klitzing, R. "Facetings of Uniform Polyhedra", http://www.polyedergarten.de/e_Klintro.htm
  13. Lalvani, H. "Transpolyhedra: Dual Transformations by Explosion-Implosion", publié par l'auteur, 1977.
  14. Luke, D. "Stellations of the Rhombic Dodecahedron", Mathematical Gazette, Vol. 41, pp. 189-194, 1957.
  15. McNeill, J. "Hedron", software program, http://web.ukonline.co.uk/polyhedra/hedron.html
  16. Messer, P. W., Wenninger, M. J. "Symmetry and Polyhedral Stellation II", Computers and Mathematics with Applications, Vol. 17, No. 1-3, pp. 195-201, 1989.
  17. Messer, P. W. "Stellations of the Rhombic Triacontahedron and Beyond", Structural Topology 21, pp. 25-46, 1995.
  18. Mikloweit, U. "Polyedergarten", http://www.polyedergarten.de
  19. Norman, A. C., Smith, A. "Computer Drawings of Compounds of Star Polyhedra", Mathematical Gazette, Vol. 57, pp. 303-306, 1973.
  20. Ounsted, J. "An Unfamiliar Dodecahedron", Mathematics Teaching, Vol. 83, pp. 46-47, 1978.
  21. Pawley, G. S. "The 227 Triacontahedra", Geometriae Dedicata, Vol 4, pp. 221-232, 1975.
  22. Skilling, J. "The Complete Set of Uniform Polyhedra", Philosophical Transactions of the Royal Society of London Series A, Vol. 278, pp. 111-135, 1975.
  23. Smith, A. "Stellations of the Triakis Tetrahedron", Mathematical Gazette, Vol. 49, pp. 135-143, 1965.
  24. Smith, A. "Some Regular Compounds of Star-Polyhedra", Mathematical Gazette, Vol. 57, pp. 39-46, 1973.
  25. Stewart, Professor B. M. "Adventures Among the Toroids", publié par l'auteur, 1970. Seconde édition révisée publiée en 1980.
  26. Waltzman, R., "Geometric Problem Solving By Machine Visualization", Proceedings of the Image Understanding Workshop (IUW), pp. 353-354, 1989.
  27. Webb, R. "Great Stella 2.0", programme informatique, 2002, disponible à http://www.software3d.com/Stella.html ou rechercher "great stella" à http://www.google.com
  28. Wenninger, M. J. "Polyhedron Models", Cambridge University Press, 1971.
  29. Wenninger, M. J. "Dual Models", Cambridge University Press, 1983.