les polyèdres de Császár et Szilassi

Existe-t-il des polyèdres sans diagonales ?  Les sommets étant deux à deux reliés par une arête, toutes leurs faces sont triangulaires.
Le plus simple de tous les polyèdres, le tétraèdre, en est un exemple, et c'est le seul polyèdre sans trou de ce type.
La formule d'Euler généralisée aux polyèdres à t trous :  f+s-a=2(1-t)   conduit à   (s-3)(s-4)=12t  dont les solutions sont :
   t=0  et  s=4 : le tétraèdre !
   t=1  et  s=7 : ce polyèdre a été décrit en 1940 par Akos Császár
   t=6  et  s=12,  t=11  et  s=15  . . .  mais personne n'a encore exhibé un de ces polyèdres !

Le polyèdre de Császár n'est pas facile à "voir" ; il faut d'abord se représenter les sept sommets dans l'espace. Les six premiers sont les extrémités de trois segments [AC], [BD] et [EF] situés dans trois plans parallèles, avec [AC] "entre" les deux autres ; ils forment une "base" de huit triangles. Le septième sommet G est commun aux six autres faces ; elles forment une "coiffe" qui vient recouvrir la "base".

Császár (patron)
Vu de dessus, ABCD apparaît comme un carré de centre G.
LiveGraphics3D permet de bien voir comment les sept sommets sont disposés dans l'espace.

Pour réaliser votre propre modèle vous pouvez télécharger et imprimer le patron (fichier PDF).

LiveGraphics3D a des difficultés à bien afficher les faces, mais en faisant apparaître les faces progressivement il permet de voir se constituer la "base" toroïdale (avec un trou) ; elle sera ensuite partiellement cachée par la "coiffe".

polyèdre de Császár
polyèdre de Szilassi
14 faces triangulaires
7 faces hexagonales
7 sommets d'ordre 6
14 sommets d'ordre 3
1 tunnel
1 tunnel
21 arêtes
21 arêtes

Le dual topologique du polyèdre de Császár a été décrit en 1977 par Lajos Szilassi ; ses sept faces hexagonales sont deux à deux adjacentes. Son patron (fichier PDF) peut aussi être téléchargé.

Szilassi (patron)

Remarque : Le théorème des quatre couleurs - le premier théorème important démontré à l'aide d'un ordinateur - affirme qu'une "carte" dessinée sur un plan ou une sphère peut être bien coloriée à l'aide de quatre couleurs (deux "pays" avec une frontière commune ne peuvent être de même couleur). Sur un tore il faut sept couleurs ; le toroïde de Szilassi nécessite en effet sept couleurs pour que deux faces adjacentes soient de couleurs différentes.

référence : the Szilassi polyhedron par Tom Ace (en anglais)


page accueil
anglais
polyèdres convexes - polyèdres non convexes - polyèdres intéressants - sujets connexes octobre 2003
mis à jour 12-01-2006