ABC est un triangle et P un point distinct de A, B and C. Si A', B' and C' sont les symétriques de P par rapport aux milieux de [BC], [CA] et [AB] respectivement, alors [AA'], [BB'] et [CC'] ont même milieu.
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Puisque [BA'], [PC] et [AB'] sont parallèles et de même longueur (comme côtés opposés des parallélogrammes BA'CP et PCB'A), on peut dessiner un parallélépipède dans lequel les diagonales [AA'], [BB'] et [CC'] ont même milieu.
Notons que les figures ne prouvent pas la propriété. On a complété celle de gauche pour obtenir une perspective cavalière d'un parallélépipède ; c'est l'interprétation de la figure enrichie de droite (propriété des diagonales d'un parallélépipède) qui constitue la preuve.
Si trois cercles de même rayon r sont concourants, alors leurs trois autres points d'intersection appartiennent à un cercle de rayon r.
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Les trois centres M, N et P, les quatre points d'intersection A, B, C et D sont sept sommets d'un cube représenté en perspective cavalière de rapport 1. Le dernier sommet Q est le centre du cercle circonscrit à ABC ; son rayon est aussi r.
preuve : MCND, MBPD et NDPA sont des losanges de même côté r ; il en est de même pour les quadrilatères représentant les trois autres faces du cube (par symétrie par rapport au centre du cube). Les douze arêtes sont des segments de même longueur r.
(ABCD) et (MNPQ) sont des quadrangles orthocentriques symétriques par rapport au centre du cube : chacun des quatre points est orthocentre du triangle défini par les trois autres.
preuve : par exemple (AB) et (DC) sont perpendiculaires : les diagonales du losange MCND sont perpendiculaires et les côtés opposés du parallélogramme MNAB sont parallèles.
Deux triangles sont en perspective par rapport à un point si leurs sommets correspondants définissent trois droites concourantes. Le point concours est le centre de perspective.
Deux triangles sont en perspective par rapport à une droite si leurs côtés correspondants se coupent en des points alignés. La droite passant par ces point est appelée axe de perspective.
Le théorème de Desargues affirme que si deux triangles sont en perspective par rapport à un point, alors ils le sont aussi par rapport à une droite (et réciproquement).
Si on considère la configuration de Desargues comme une figure de l'espace (un tétraèdre coupé par un plan), le théorème devient évident.
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Les figures peuvent être modifiées dynamiquement : les gros points peuvent être déplacés avec le pointeur de la souris. Le théorème de Desargues est un théorème projectif : il reste vrai si regarde la configuration en perspective.
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| références : |
• Symmetries in a triangle par Alexander Bogomolny (en anglais)
• Le Dictionnaire Penguin des curiosités géométriques de David Wells (éditions Eyrolles - 1996) pages 113-114 • le théorème de Johnson en 4D par Thérèse Eveilleau |
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polyèdres convexes - polyèdres non convexes - polyèdres intéressants - sujets connexes | septembre 1999 mis à jour 17-11-2017 |