quelques exemples de questions posées à l'AMC

14-04-2003

Pour chaque question on a indiqué l'année et le niveau (Junior-Intermédiaire-Senior) suivi du numéro de la question (1...30).
On n'a volontairement pas donné les cinq réponses qui étaient proposées, pour éviter toute tentation de devinette.
Ne vous privez pas du plaisir de chercher et de trouver avant de consulter les solutions !
 
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^{1978 : J20, I09 et S06}
Si l'opération * est définie par  a*b = 1/ab  alors que vaut  a*(b*c)  ?
question complémentaire :  a*(b*c)  est-il  égal à  (a*b)*c ?

^{1981 : J16}
On réduit la longueur d'une paire de côtés opposés d'un carré de 10%, et on augmente celle de l'autre paire de 10%.
Quel pourcentage de l'aire du carré représente l'aire du rectangle ?

^{1984 : J27, I27 et S24}

		Combien existe-t-il de triangles équilatéraux différents dont les sommets sont trois de ces dix points ?
		variantes : Combien existe-t-il de carrés différents dont les sommets sont quatre de ces seize, respectivement de ces vingt points ? Mêmes questions en remplaçant "carrés" par "losanges" ou par "rectangles".

^{1988 : I12 et J17}
Deux bouteilles identiques contiennent des mélanges d'eau et de vinaigre dans les proportions 2 pour 1 et 3 pour 1. Quelle sera la proportion eau pour vinaigre du mélange obtenu en vidant les deux bouteilles dans un autre récipient ?

^{1990 : J14, I09 et S04}
R appartient au côté [PS] d'un triangle PSQ ; on a PQ=PR=QS et l'angle du secteur (QPR) mesure 20°. Quelle est, en degrés, la mesure de l'angle du secteur (RQS) ?

^{1991 : J08 et I04}
Quelle est la somme du plus grand et du plus petit des nombres  0,32  0,302  0,7  0,688  et  0,649  ?

^{1991 : I14 et S11}
Un litre de boisson à l'orange contient 10% de jus d'orange. Quel est, en ml, le volume de jus d'orange qu'il faut lui ajouter pour obtenir un mélange contenant 50% de jus d'orange ?

^{1996 : J29 et I25}
Un polyèdre a 12 faces pentagonales, 20 faces triangulaires et 30 faces carrées ; combien a-t-il d'arêtes ?
Ce polyèdre archimédien est le petit rhombicosidodécaèdre ; le voici, avec deux de ses "parents".

dodécaèdre régulier (12 faces pentagonales)	icosidodécaèdre (12 pentagones et 20 triangles)	petit rhombicosidodécaèdre (12 pentagones, 20 triangles et 30 carrés)

variante : Décrire le petit rhombicuboctaèdre : nombre et nature de ses faces, sachant que deux de ses "parents" sont le cube et le cuboctaèdre. Combien a-t-il d'arêtes ? de sommets ?
On peut commencer par chercher comment ce polyèdre archimédien très connu s'obtient à partir de ses "parents".

^{2000 : I28 et S27}

Sur la figure chacune des quatre cordes coupe l'aire du grand disque dans le rapport 1/3 ; leurs points d'intersection sont les sommets d'un carré. Les cordes découpent le disque en neuf régions. Quel est le rapport de l'aire P de la région en bleu sur l'aire du disque circonscrit au carré (en pointillés) ? Attention à la signification de "dans le rapport 1/3" !

^{2000 : I29 et S29}

On peut utiliser 24 clôtures pour réaliser des enclos. Les enclos sont des polygones dont chaque côté est une clôture. Sur la figure on a réalisé dix enclos. Quel est le nombre maximum d'enclos réalisables ?

^{2000 : J30, I30 et S30}
On dispose de cinq boîtes contenant des triangles équilatéraux et des carrés de mêmes côtés. Elles contiennent respectivement huit triangles et deux carrés, deux triangles et trois carrés, quatre triangles et trois carrés, trois triangles et quatre carrés, quatre triangles et cinq carrés.
Avec combien de ces boîtes peut-on réaliser un polyèdre en utilisant tous les polygones de la boîte ?